Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+2ax+c交x軸于A，B兩點，交y軸于點C（0，3），tan∠OAC= ．

（1）求拋物線的解析式；
（2）點H是線段AC上任意一點，過H作直線HN⊥x軸于點N，交拋物線于點P，求線段PH的最大值；
（3）點M是拋物線上任意一點，連接CM，以CM為邊作正方形CMEF，是否存在點M使點E恰好落在對稱軸上？若存在，請求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵C（0，3），

∴OC=3，

∵tan∠OAC= ，

∴OA=4，

∴A（﹣4，0）．

把A（﹣4，0）、C（0，3）代入y=ax2+2ax+c中，

得 ，解得： ，

∴拋物線的解析式為y=﹣ x2﹣ x+3

（2）

解：設直線AC的解析式為y=kx+b，

把A（﹣4，0）、C（0，3）代入y=kx+b中，

得： ，解得： ，

∴直線AC的解析式為y= x+3．

設N（x，0）（﹣4＜x＜0），則H（x， x+3），P（x，﹣ x2﹣ x+3），

∴PH=﹣ x2﹣ x+3﹣（ x+3）=﹣ x2﹣ x=﹣ （x+2）2+ ，

∵﹣ ＜0，

∴PH有最大值，

當x=﹣2時，PH取最大值，最大值為

（3）

解：過點M作MK⊥y軸于點K，交對稱軸于點G，則∠MGE=∠MKC=90°，

∴∠MEG+∠EMG=90°，

∵四邊形CMEF是正方形，

∴EM=MC，∠MEC=90°，

∴∠EMG+∠CMK=90°，

∴∠MEG=∠CMK．

在△MCK和△MEG中， ，

∴△MCK≌△MEG（AAS），

∴MG=CK．

由拋物線的對稱軸為x=﹣1，設M（x，﹣ x2﹣ x+3），則G（﹣1，﹣ x2﹣ x+3），K（0，﹣ x2﹣ x+3），

∴MG=|x+1|，CK=|﹣ x2﹣ x+3﹣3|=|﹣ x2﹣ x|=| x2+ x|，

∴|x+1|=| x2+ x|，

∴ x2+ x=±（x+1），

解得：x1=﹣4，x2=﹣ ，x3=﹣ ，x4=2，

代入拋物線解析式得：y1=0，y2= ，y3= ，y4=0，

∴點M的坐標是（﹣4，0），（﹣ ， ），（﹣ ， ）或（2，0）．

【解析】（1）由點C的坐標以及tan∠OAC= 可得出點A的坐標，結合點A、C的坐標利用待定系數法即可求出拋物線的解析式；（2）設直線AC的解析式為y=kx+b，由點A、C的解析式利用待定系數法即可求出直線AC的解析式，設N（x，0）（﹣4＜x＜0），可找出H、P的坐標，由此即可得出PH關于x的解析式，利用配方法即二次函數的性質即可解決最值問題；（3）過點M作MK⊥y軸于點K，交對稱軸于點G，根據角的計算依據正方形的性質即可得出△MCK≌△MEG（AAS），進而得出MG=CK．設出點M的坐標利用正方形的性質即可得出點G、K的坐標，由正方形的性質即可得出關于x的含絕對值符號的一元二次方程，解方程即可求出x值，將其代入拋物線解析式中即可求出點M的坐標．本題考查了待定系數法求函數解析式、二次函數的性質、正方形的性質以及全等三角形的判定與性質，解題的關鍵是：（1）利用待定系數法求出拋物線解析式；（2）根據二次函數的性質解決最值問題；（3）根據正方形的性質得出關于x的含絕對值符號的一元二次方程．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時，根據正方形的性質找出關于x的含絕對值符號的一元二次方程，解方程求出點的橫坐標是關鍵．
【考點精析】通過靈活運用二次函數的性質和正方形的性質，掌握增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小；正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形即可以解答此題．