Question

【題目】如圖，Rt△ABC的內切圓⊙O與AB、BC、CA分別相切于點D、E、F，且∠ACB=90°，AB=5，BC=3，點P是邊AC上的一動點，PH⊥AB，垂足為H．
（1）求⊙O的半徑的長及線段AD的長；
（2）設PH=x，PC=y，求y關于x的函數關系式．

Answer 1

【答案】解：（1）連接AO、DO．設⊙O的半徑為r．
在Rt△ABC中，由勾股定理得AC==4，
則⊙O的半徑r=（AC+BC﹣AB）=（4+3﹣5）=1；
∵CE、CF是⊙O的切線，∠ACB=90°，
∴∠CFO=∠FCE=∠CEO=90°，CF=CE，
∴四邊形CEOF是正方形，
∴CF=OF=1；
又∵AD、AF是⊙O的切線，
∴AF=AD；
∴AF=AC﹣CF=AC﹣OF=4﹣1=3，
即AD=3；
（2）點P在線段AC上時．
在Rt△ABC中，AB=5，AC=4，BC=3，
∵∠C=90°，PH⊥AB，
∴∠C=∠PHA=90°，
∵∠A=∠A，
∴△AHP∽△ACB，
∴，
即
∴y=﹣x+4，
即y與x的函數關系式是y=﹣x+4．

【解析】（1）由勾股定理求AC的長度；設⊙O的半徑為r，則r=（AC+BC﹣AB）；根據圓的切線定理、正方形的判定定理知四邊形CEOF是正方形；然后由正方形的性質證得CF=OF=1，則由圖中線段間的和差關系即可求得AD的長度；
（2）點P在線段AC上時，通過相似三角形△AHP∽△ACB的對應邊成比例知， ， 將“PH=x，PC=y”代入求出即可求得y關于x的函數關系式即可．
【考點精析】通過靈活運用三角形的內切圓與內心，掌握三角形的內切圓的圓心是三角形的三條內角平分線的交點，它叫做三角形的內心即可以解答此題．