Question

【題目】如圖，在△ABC中，P、Q分別是BC、AC上的點，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分別為R、S，若AQ=PQ，PR=PS，則下列四個結論：①PA平分∠BAC；②AS=AR；③QP∥AR；④△BRP≌△CSP，其中結論正確的序號為（　　）

A.①②③B.①②C.①②④D.①②③④

Answer 1

【答案】A

【解析】

根據角平分線性質即可推出②，根據勾股定理即可推出AR=AS，根據等腰三角形性質推出∠QAP=∠QPA，推出∠QPA=∠BAP，根據平行線判定推出QP∥AB即可；無法判斷PB=PC故△BRP≌△QSP錯誤，然后根據線段垂直平分線的判定即可得到AP垂直平分RS．

∵PR⊥AB，PS⊥AC，PR=PS，
∴點P在∠A的平分線上，∠ARP=∠ASP=90°，
∴∠SAP=∠RAP，
在Rt△ARP和Rt△ASP中，由勾股定理得：AR2=AP2-PR2，AS2=AP2-PS2，
∵AP=AP，PR=PS，
∴AR=AS，∴②正確；
連接AP．

∵AQ=QP，
∴∠QAP=∠QPA，
∵∠QAP=∠BAP，
∴∠QPA=∠BAP，
∴QP∥AR，∴③正確；
無法判斷PB=PC，故④錯誤；
連接RS，

∵PR=PS，
∴點P在RS的垂直平分線上，
∵AS=AR，
∴點A在RS的垂直平分線上，
∴AP垂直平分RS，∴①正確．
故選：A．