Question

【題目】如圖，C 為線段 AE 上一動點（不與 A、E 重合），在 AE 同側分別作等邊△ABC 和等邊△CDE，AD 與 BE 交于點 O，AD 與 BC 交于點 P，BE 與 CD 交于點 Q，連接 PQ，以下五個結論：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°，其中正確的結論是（把你認為正確的結論的序號都填上）．

Answer 1

【答案】①②③⑤
【解析】①∵△ABC 、△CDE均為等邊三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠ECD=60°，
又∵∠ACD=∠ACB+BCD，∠BCE=∠ECD+∠DCB，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，

∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE，
故①正確.
②由①知△ACD≌△BCE，
∴∠CAD=∠CBE，
又∵∠ACB=∠ECD=60°，
∴∠BCQ=180°-∠ACB-∠ECD=60°，
即∠BCQ=∠ACB，
在△ACP和△BCQ中，

∴△ACP≌△BCQ（ASA），
∴CP=CQ，
又∵∠PCQ=60°，
∴△PCQ為等邊三角形，

∴∠PQC=∠DCE=60°，
∴PQ∥AE，
故②正確.

③由②知△ACP≌△BCQ，
∴AP=BQ，
故③正確.
④由②知∠PCQ=∠CPQ=60°，
∴∠DPC60°，
∴DP≠DC，
又∵DC=DE，
∴DP≠DE，
故④錯誤.
⑤∵△ABC 、△CDE均為等邊三角形，
∴∠ACB=∠ECD=60°，∠ACB=∠EDC=60°，
由②知∠BCD=60°，
∴∠DCB=∠EDC=60°，
∴BC∥DE，
∴∠DEO=∠CBE，
∴∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°，
故⑤正確.
所以答案是：①②③⑤.
綜上所述：正確的結論為①②③⑤.
【考點精析】本題主要考查了平行線的判定與性質的相關知識點，需要掌握由角的相等或互補（數量關系）的條件，得到兩條直線平行（位置關系）這是平行線的判定；由平行線（位置關系）得到有關角相等或互補（數量關系）的結論是平行線的性質才能正確解答此題．