Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，AH⊥BC于點H，過點C作CD⊥AC，連接AD，點M為AC上一點，且AM=CD，連接BM交AH于點N，交AD于點E．

（1）若AB=3，AD= ，求△BMC的面積；
（2）點E為AD的中點時，求證：AD= ．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖1中，

在△ABM和△CAD中，

，

∴△ABM≌△CAD，

∴BM=AD= ，

∴AM= =1，

∴CM=CA﹣AM=2，

∴S△BCM= CMBA= 23=3．

（2）解：如圖2中，連接EC、CN，作EQ⊥BC于Q，EP⊥BA于P．

∵AE=ED，∠ACD=90°，

∴AE=CE=ED，

∴∠EAC=∠ECA，

∵△ABM≌△CAD，

∴∠ABM=∠CAD，

∴∠ABM=∠MCE，

∵∠AMB=∠EMC，

∴∠CEM=∠BAM=90°，

∵△ABM∽△ECM，

∴ = ，

∴ = ，∵∠AME=∠BMC，

∴△AME∽△BMC，

∴∠AEM=∠ACB=45°，

∴∠AEC=135°，易知∠PEQ=135°，

∴∠PEQ=∠AEC，

∴∠AEQ=∠EQC，∵∠P=∠EQC=90°，

∴△EPA≌△EQC，

∴EP=EQ，∵EP⊥BP，EQ⊥BC

∴BE平分∠ABC，

∴∠NBC=∠ABN=22.5°，

∵AH垂直平分BC，

∴NB=NC，

∴∠NCB=∠NBC=22.5°，

∴∠ENC=∠NBC+∠NCB=45°，

∴△ENC的等腰直角三角形，

∴NC= EC，∴AD=2EC，

∴2NC= AD，

∴AD= NC，

∵BN=NC，

∴AD= BN．

【解析】（1）首先根據SAS證出△ABM≌△CAD，推出BM=AD= ，然后根據勾股定理得出AM的長，再推出CM=CA﹣AM=2，從而利用∴S△BCM= CMBA得出答案；
（2）如圖2中，連接EC、CN，作EQ⊥BC于Q，EP⊥BA于P，想辦法證出△ENC的等腰直角三角形，即可解決問題。
【考點精析】掌握線段垂直平分線的性質和勾股定理的概念是解答本題的根本，需要知道垂直于一條線段并且平分這條線段的直線是這條線段的垂直平分線；線段垂直平分線的性質定理：線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等；直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2．