Question

【題目】如圖，AD∥BC，BE平分∠ABC交AD于點E，BD平分∠EBC．

（1）若∠DBC=35°，則∠A的度數為________；

（2）若∠DBC=α，求∠A的度數（用含α的代數式表示）；

（3）已知120°<∠ABC<180°，若點F在線段AE上，連接BF，當△BFD為直角三角形時，求∠A與∠FBE的數量關系．

Answer 1

【答案】（1）40°；（2）∠A=180°-4α；（3）∠A=4∠FBE-180°或∠A=2∠FBE．

【解析】

（1）根據角平分線的定義分別求出∠EBC和∠ABC，然后利用平行線的性質求∠A即可；

（2）根據角平分線的定義分別表示出∠EBC和∠ABC，然后利用平行線的性質求∠A即可；

（3）分兩種情況討論：①當∠FBD=90°時，②當∠BFD=90°時，分別用∠FBE表示出∠A即可．

解：（1）因為BD平分∠EBC，∠DBC=35°，

所以∠EBC=2∠DBC=70°，

因為BE平分∠ABC，

所以∠ABC=2∠EBC =140°，

因為AD∥BC，

所以∠A+∠ABC=180°．

所以∠A=40°；

（2）因為BD平分∠EBC，∠DBC=α，

所以∠EBC=2∠DBC=2α．

因為BE平分∠ABC，

所以∠ABC=4α，

因為AD∥BC，

所以∠A+∠ABC=180°，

所以∠A=180°－4α；

（3）設∠DBC=α，由（2）可知：∠A=180°－4α，∠EBC=2α，

①當∠FBD=90°時，∠FBE+∠EBD=90°，

所以∠FBE=90°－∠EBD=90°－α，

所以α=90°－∠FBE，

所以∠A=180°－4（90°－∠FBE）=4∠FBE－180°；

②當∠BFD=90°時，

因為AD∥BC，

所以∠FBC=180°－∠BFD=90°，∠FBE+∠EBC=90°，

所以∠FBE=90°－∠EBC=90°－2α，

所以2α=90°－∠FBE，

所以∠A=180°－2（90°－∠FBE）=2∠FBE，

綜上所述：∠A=4∠FBE－180°或∠A=2∠FBE．