Question

【題目】如果關于x的一元二次方程ax2＋bx＋c=0 (a≠0)有兩個不相等的實數根,且其中一個根為另一個根的2倍,那么稱這樣的方程為“倍根方程”.例如,方程x2－6x＋8=0的兩個根是2和4,則方程x2－6x＋8=0就是“倍根方程”.

（1）若一元二次方程x2－3x＋c=0是“倍根方程”,則c= ；

（2）若(x－2) (mx－n)=0(m≠0)是“倍根方程”,求代數式4m2－5mn＋n2的值；

（3）若方程ax2＋bx＋c=0 (a≠0)是倍根方程，且相異兩點M(1＋t，s)，N(4－t，s)，都在拋物線y=ax2＋bx＋c上，求一元二次方程ax2＋bx＋c=0 (a≠0)的根.

Answer 1

【答案】（1）c=2；（2）4m2－5mn＋n2=0（3），.

【解析】

（1）由一元二次方程x2－3x＋c=0是“倍根方程”，得到x1+2x1=3，2x12=c，求解即可得到答案；

（2）方程(x－2) (mx－n)=0的解為x1=2，x2=，因為兩個根是2倍關系，所以x2=1或4，分別得到m，n的關系式，代入代數式中即可得解；

（3）方程ax2＋bx＋c=0 是倍根方程，得到其解x1=2x2，由已知條件得到拋物線的對稱軸為直線x＝，即可求出方程的根x1，x2.

（1）∵元二次方程x2－3x＋c=0是“倍根方程”，

∴x1+x2=3，x1x2=c，即x1+2x1=3，2x12=c，

解得:c=2；

（2）∵是倍根方程，且，

由題意可知或，

∴或，

當時，=0，

當時，=0，

∴4m2－5mn＋n2=0；

（3）∵方程是倍根方程，不妨設

∵相異兩點都在拋物線上，

∴拋物線的對稱軸為，

∴，

又∵

∴，即，

∴

故的兩根分別為，.