Question

【題目】問題背景：如圖1：在四邊形ABCD中,AB=AD,∠BAD=120 ,∠B=∠ADC=90°.E、F分別是 BC,CD 上的點。且∠EAF=60° . 探究圖中線段BE，EF，FD 之間的數量關系。 小王同學探究此問題的方法是,延長 FD 到點 G,使 DG=BE,連結 AG,先證明△ABE≌△ADG, 再證明△AEF≌△AGF，可得出結論，他的結論應是_________；

探索延伸：如圖2，若四邊形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180° .E,F 分別是 BC,CD 上的點,且∠EAF=∠BAD，上述結論是否仍然成立，并說明理由；

實際應用：如圖3，在某次軍事演習中，艦艇甲在指揮中心（O處）北偏西30°的A處,艦艇乙在指揮中心南偏東 70°的B處,并且兩艦艇到指揮中心的距離相等,接到行動指令后,艦艇甲向正東方向以55 海里/小時的速度前進,艦艇乙沿北偏東 50°的方向以 75 海里/小時的速度前進2小時后, 指揮中心觀測到甲、乙兩艦艇分別到達 E,F 處,且兩艦艇之間的夾角為70° ，試求此時兩艦 艇之間的距離。

Answer 1

【答案】問題背景：EF=BE+DF，理由見解析；探索延伸：結論仍然成立，理由見解析；實際應用：210海里.

【解析】

問題背景：延長FD到點G．使DG=BE．連結AG，即可證明△ABE≌△ADG，可得AE=AG，再證明△AEF≌△AGF，可得EF=FG，即可解題；

探索延伸：延長FD到點G．使DG=BE．連結AG，即可證明△ABE≌△ADG，可得AE=AG，再證明△AEF≌△AGF，可得EF=FG，即可解題；

實際應用：連接EF，延長AE、BF相交于點C，然后與（2）同理可證．

問題背景：EF=BE+DF，證明如下：

在△ABE和△ADG中，

，

∴△ABE≌△ADG（SAS），

∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，

∵∠EAF=∠BAD，

∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF，

∴∠EAF=∠GAF，

在△AEF和△GAF中，

，

∴△AEF≌△AGF（SAS），

∴EF=FG，

∵FG=DG+DF=BE+DF，

∴EF=BE+DF，

故答案為： EF=BE+DF；

探索延伸：結論EF=BE+DF仍然成立，

理由：延長FD到點G．使DG=BE，連結AG，如圖2，

在△ABE和△ADG中，，

∴△ABE≌△ADG（SAS），

∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，

∵∠EAF=∠BAD，

∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF，

∴∠EAF=∠GAF，

在△AEF和△GAF中，

，

∴△AEF≌△AGF（SAS），

∴EF=FG，

∵FG=DG+DF=BE+DF，

∴EF=BE+DF；

實際應用：如圖3，連接EF，延長AE、BF相交于點C，

∵∠AOB=30°+90°+（90°-70°）=140°，∠EOF=70°，

∴∠EOF=∠AOB，

又∵OA=OB，∠OAC+∠OBC=（90°-30°）+（70°+50°）=180°，

∴符合探索延伸中的條件，

∴結論EF=AE+BF成立，

即EF=2×（45+60）=210（海里），

答：此時兩艦艇之間的距離是210海里．