Question

【題目】如圖，以Rt△ABC的直角邊AB為直徑作⊙O，交斜邊AC于點D，點E為OB的中點，連接CE并延長交⊙O于點F，點F恰好落在 的中點，連接AF并延長與CB的延長線相交于點G，連接OF．
（1）求證：OF= BG；
（2）若AB=4，求DC的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵以Rt△ABC的直角邊AB為直徑作⊙O，點F恰好落在 的中點，

∴ = ，

∴∠AOF=∠BOF，

∵∠ABC=∠ABG=90°，

∴∠AOF=∠ABG，

∴FO∥BG，

∵AO=BO，

∴FO是△ABG的中位線，

∴FO= BG

（2）解：在△FOE和△CBE中，

，

∴△FOE≌△CBE（ASA），

∴BC=FO= AB=2，

∴AC= =2 ，

連接DB，

∵AB為⊙O直徑，

∴∠ADB=90°，

∴∠ADB=∠ABC，

∵∠BCD=∠ACB，

∴△BCD∽△ACB，

∴ = ，

∴ = ，

解得：DC= ．

【解析】（1）直接利用圓周角定理結合平行線的判定方法得出FO是△ABG的中位線，即可得出答案；（2）首先得出△FOE≌△CBE（ASA），則BC=FO= AB=2，進而得出AC的長，再利用相似三角形的判定與性質得出DC的長．