Question

【題目】如圖，△ABC和△DEF均是邊長為4的等邊三角形，△DEF的頂點D為△ABC的一邊BC的中點，△DEF繞點D旋轉，且邊DF,DE始終分別交△ABC的邊AB，AC于點H，G，圖中直線BC兩側的圖形關于直線BC成軸對稱．連結HH′,HG,GG′,H′G′，其中HH′、GG′分別交BC于點I，J．

（1）求證：△DHB∽△GDC；
（2）設CG=x，四邊形HH′G′G的面積為y，
①求y關于x的函數解析式和自變量x的取值范圍．
②求當x為何值時，y的值最大，最大值為多少？

Answer 1

【答案】
（1）

證明：在正△ABC中，∠ABC=∠ACB=60°，

∴∠BHD+∠BDH=120°，

在正△DEF中，∠EDF=60°，

∴∠GDC+∠BDH=120°，

∴∠BHD=∠GDC，

∴△DHB∽△GDC

（2）

證明：①∵D為BC的中點，

∴BD=CD=2，

由△DHB∽△GDC，

∴ ，

即： ，

∴BH= ，

∵H，H′和G，G′關于BC對稱，

∴HH′⊥BC，GG′⊥BC，

∴在Rt△BHI中，BI= BH= ，HI= BH= ，

在Rt△CGJ中，CJ= CG= ，GJ= CG= ，

∴HH′=2HI= ，GG’=2GJ= x，IJ=4﹣ ﹣ ，

∴y= （ + x）（4﹣ ﹣ ）

∵邊DF、DE始終分別交△ABC的邊AB、AC于點H、G，

∴當△DEF繞點D旋轉時，點H和A重合時，AG=3，

∴x=CG=1，

當點G和A重合時，CG=4，

∴x=4，

∴1≤x≤4

②由①得，y=﹣ （ +x）2+2 （ +x），

設 =a，得y=﹣ a2+2 a，

當a=4時，y最大=4 ，

此時 =4，解得x=2．

【解析】（1）由等邊三角形的特點得到相等關系，即可；（2）由相似三角形得到 ，再結合對稱，表示出相關的線段，四邊形HH′G′G的面積為y求出即可．