Question

【題目】如圖，點是線段上一點，，以點為圓心，的長為半徑作⊙，過點作的垂線交⊙于，兩點，點在線段的延長線上，連接交⊙于點，以，為邊作．

（1）求證：是⊙的切線；

（2）若，求四邊形與⊙重疊部分的面積；

（3）若，，連接，求和的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2） ；（3），

【解析】

（1）根據平行四邊形的性質可知，證明，又因為為半徑，即可證明結論；

（2）利用銳角三角函數先求出，再求出扇形的面積，最后求出的面積，兩部分面積相加即為重疊部分面積；

（3）設⊙半徑，，在中，利用勾股定理求出半徑，推出，再在和中利用勾股定理分別求出，的長，最后證，利用相似三角形對應邊的比相等即可求出的長．

（1）證明：四邊形是平行四邊形，

，

，

，即，

又為半徑，

是⊙的切線；

（2）如圖，連接，

，，

，，

在中，，，

，

，

扇形，

，

，

四邊形與⊙重疊部分的面積；

（3）設⊙半徑，，

在中，，

，

，則，

在中，，，則，

在中，，，得，

在和中，

，，

，

即，

，

，．