Question

【題目】（1）如圖1，是等邊三角形邊上一動點（點）與點不重合，連接，以為邊在上方作等邊三角形，連接，你能發現與之間的數量關系嗎？并證明你發現的結論．

（2）如圖二，當動點在等邊三角形邊上運動時（點與點不重合），連接，以為邊在其上方、下方分別作等邊三角形和等邊三角形，連接，，探究，與有何數量關系？并證明你探究的結論．

（3）如圖三，當動點在等邊三角形邊的延長線上運動時，其他作法與圖2相同，若，請直接寫出　　　　．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）6

【解析】

（1）由等邊三角形的性質可得AC=BC，DC=CE，∠ACB=∠DCE=60°，可得∠ACE=∠BCD，根據“SAS”可證△BCD≌△ACE，即AE=BE；
（2）由等邊三角形的性質可得AC=BC，DC=CF，∠ACB=∠DCF=60°，可得∠FCB=∠DCA，根據“SAS”可證△ACD≌△BCF，即BF=AD，即可得AB=AE=BF；
（3）根據等邊三角形的性質和全等三角形的判定和性質可得AE=BD，BF=AD，即可求AB的長．

解：（1）AE=BD,理由如下：

∵△ABC和△DCE是等邊三角形
∴AC=BC，DC=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACE=∠BCD，且AC=BC，DC=CE
∴△BCD≌△ACE（SAS）
∴AE=BD
（2）AB=AE+BF，
理由如下：∵△ABC和△DCF是等邊三角形，
∴AC=BC，CF=CD，∠FCD=∠BCA=60°，
∴∠FCB=∠DCA，且AC=BC，CF=CD，
∴△ACD≌△BCF（SAS）
∴BF=AD，
由（1）可知，BD=AE，
∵AB=BD+AD，
∴AB=AE+BF
（3）∵△ABC和△DCE是等邊三角形，
∴AC=BC，DC=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠BCD=∠ACE，且AC=BC，DC=CE，
∴△BCD≌△ACE（SAS）
∴AE=BD=8，
∵△ABC和△DCF是等邊三角形，
∴AC=BC，CF=CD，∠FCD=∠BCA=60°，
∴∠FCB=∠DCA，且AC=BC，CF=CD，
∴△ACD≌△BCF（SAS）
∴BF=AD=2，
∵AB=BD-AD
∴AB=8-2=6.