Question

【題目】拋物線y=ax2+c與x軸交于A、B兩點（A在B的左邊），與y軸交于點C，拋物線上有一動點P
（1）若A（﹣2，0），C（0，﹣4）
①求拋物線的解析式；
②在①的情況下，若點P在第四象限運動，點D（0，﹣2），以BD、BP為鄰邊作平行四邊形BDQP，求平行四邊形BDQP面積的取值范圍．
（2）若點P在第一象限運動，且a＜0，連接AP、BP分別交y軸于點E、F，則問 是否與a，c有關？若有關，用a，c表示該比值；若無關，求出該比值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：①∵A（﹣2，0），C（0，﹣4）在拋物線上，

∴ ，解得 ，

∴拋物線解析式為y=x2﹣4；

②如圖1，連接DB、OP，設P（x，x2﹣4），

∵A（﹣2，0），對稱軸為y軸，

∴B（2，0），

∴S△BDP=S△ODP+S△OBP﹣S△BOD= OD|x|+ OB|x2﹣4|﹣ ODOB=x+4﹣x2﹣2=﹣x2+x+2=﹣（x﹣ ）2+ ，

∵點P在第四象限運動，

∴0＜x＜2，

∴當x= 時，S△BDP有最大值 ，當x=2時，S△BDP有最小值0，

∴0＜S△BDP≤ ，

∵四邊形BDQC為平行四邊形，

∴S四邊形BDQP=2S△BDP，

∴0＜S四邊形BDQP≤ ；

（2）

解：如圖2，過點P作PG⊥AB，設A（x1，0），B（x2，0），P（x，y），

∵PG∥y軸，

∴△AOE∽△AGP，△BGP∽△BOF，

∴ = ， = ，

∴ = ， = ，

∴ + = + = = ，

當y=0時，可得ax2+c=0，

∴x1+x2=0，x1x2= ，

∴ + = = = ，

∴OE+OF=2c，

∴ = =2，

∴ = = = =1，

∴ 的值與a，c無關，比值為1．

【解析】（1）①由A、C兩點的坐標，利用待定系數法可求得拋物線解析式；②連接BD、OP，設出P點坐標，利用S△BDP=S△ODP+S△OBP﹣S△BOD可用x表示出四邊形BDQP的面積，借助x的取值范圍，可求得四邊形BDQP面積的取值范圍；（2）過點P作PG⊥AB，設A（x1 ， 0），B（x2 ， 0），P（x，y），由△AOE∽△AGP、△BGP∽△BOF，利用相似三角形的性質和一元二次方程根與系數的關系可整理得到 =2，再利用三角形的面積可得 的值．
【考點精析】認真審題，首先需要了解相似三角形的性質(對應角相等，對應邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形)．