Question

【題目】如圖，已知點O為Rt△ABC斜邊AC上一點，以點O為圓心，OA長為半徑的⊙O與BC相切于點E，與AC相交于點D，連接AE．
（1）求證：AE平分∠CAB；
（2）探求圖中∠1與∠C的數量關系，并求當AE=EC時tanC的值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OE，

∵⊙O與BC相切于點E，

∴OE⊥BC，

∵AB⊥BC，

∴AB∥OE，

∴∠2=∠AEO，

∵OA=OE，

∴∠1=∠AEO，

∴∠1=∠2，即AE平分∠CAB

（2）解：∠C=90°﹣2∠1，tanC= ．

∵∠EOC是△AOE的外角，

∴∠1+∠AEO=∠EOC，

∵∠1=∠AEO，∠OEC=90°，

∴∠C=90°﹣2∠1，

當AE=CE時，∠1=∠C，

∵2∠1+∠C=90°

∴3∠C=90°，∠C=30°

∴tanC=tan30°= ．

【解析】（1）連接OE，則OE⊥BC，由于AB⊥BC，故可得出AB∥OE，進而可得出∠2=∠AEO，由于OA=OE，故∠1=∠AEO，進而可得出∠1=∠2；（2）由三角形外角的性質可知∠1+∠AEO=∠EOC，因為∠1=∠AEO，∠OEC=90°，所以2∠1+∠C=90°；當AE=CE時，∠1=∠C，再根據2∠1+∠C=90°即可得出∠C的度數，由特殊角的三角函數值得出tanC即可．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解切線的性質定理的相關知識，掌握切線的性質：1、經過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經過切點垂直于切線的直線必經過圓心3、圓的切線垂直于經過切點的半徑，以及對特殊角的三角函數值的理解，了解分母口訣：30度、45度、60度的正弦值、余弦值的分母都是2，30度、45度、60度的正切值、余切值的分母都是3，分子口訣：“123，321，三九二十七”．