Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，A點的坐標為（18，0），B點的坐標為（0，24）．

（1）求AB的值；

（2）點C在OA上，且BC平分∠OBA，求點C的坐標；

（3）在(2)的條件下，點M在第三象限，點D為y軸上的一個點，連接DM交x軸于點H，連接CM,點F為BC的中點，點E為AD的中點，AD與BC交于點G,，點H為DM的中點，當∠MCG-∠DGF=∠OAB，且AD=CM時,求線段EF的長．

Answer 1

【答案】（1）30；（2）C（8，0）；（3）

【解析】

（1）根據勾股定理計算即可；（2）過點C作CN⊥AB于點N，則OC=CN，設OC的長為x，則CA的長為18-x，根據即可求解；（3）如圖，過點M作MI⊥x軸于點I，過點D作DJ⊥AB于點J，證明△MHI≌△DHO，進而可得DO=MI，再證明△MCI≌△DAO，

得到∠MCI=∠DAO，再結合已知得到AD平分∠OAB，根據求出OD的長，從而得到點D的坐標，求出點E、F的坐標，再根據兩點間距離公式求出EF的長即可.

（1）∵A點的坐標為（18，0），B點的坐標為（0，24），

∴OA=18，OB=24，

∴；

（2）如圖，過點C作CN⊥AB于點N，設OC的長為x，則OC=CN=x，CA=18-x，

∴，即，

解得x=8，

∴點C的坐標為（8，0）；

（3）如圖，過點M作MI⊥x軸于點I，過點D作DJ⊥AB于點J，

∵點H為DM的中點，

∴DH=HM，

又∵∠MHI=∠DHO，∠MIO=∠DOH，

∴△MHI≌△DHO，

∴DO=MI，

∵AD=CM，

△MCI≌△DAO，

∴∠MCI=∠DAO，

∵∠MCG-∠DGF=∠OAB，∠OCG=∠CGA+∠CAG，

∴∠MCI=∠DAB，

∴∠DAB=∠DAO，即AD平分∠OAB，

∴DO=DJ，

設DO=x，則BD=24-x，

∴，

即，

解得x=9，

∴點D的坐標為（0，9），

∴點，，

∴.