Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD、BE、CF分別是三邊上的中線．

（1）若AC=1，BC=．求證：AD2+CF2=BE2；

（2）是否存在這樣的Rt△ABC，使得它三邊上的中線AD、BE、CF的長恰好是一組勾股數？請說明理由．（提示：滿足關系a2+b2=c2的3個正整數a、b、c稱為勾股數．）

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）不存在這樣的Rt△ABC，理由見解析.

【解析】試題分析：（1）連接FD，根據三角形中線的定義求出CD、CE，再根據三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得FD=AC，然后分別利用勾股定理列式求出AD2、CF2、BE2即可得證；

（2）設兩直角邊分別為a、b，根據（1）的思路求出AD2、CF2、BE2，再根據勾股定理列出方程表示出a、b的關系，然后用a表示出AD、CF、BE，再進行判斷即可．

試題解析：（1）證明：如圖，連接FD．∵AD、BE、CF分別是三邊上的中線，∴CD=BC=，CE=AC=，FD=AC=，由勾股定理得，AD2=AC2+CD2=12+（）2=，CF2=CD2+FD2=（）2+（）2=，BE2=BC2+CE2=（）2+（）2=+=，∴AD2+CF2=BE2；

（2）解：設兩直角邊分別為a、b．∵AD、BE、CF分別是三邊上的中線，∴CD=a，CE=b，FD=AC=a，由勾股定理得，AD2=AC2+CD2=b2+（a）2=a2+b2，CF2=CD2+FD2=（a）2+（b）2=a2+b2，BE2=BC2+CE2=a2+（b）2=a2+b2．∵AD2+CF2=BE2，∴a2+b2+a2+b2=a2+b2，整理得，a2=2b2，∴AD=b，CF=b，BE=b，∴CF：AD：BE=1： ．∵沒有整數是和的倍數，∴不存在這樣的Rt△ABC．