Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，AC是弦，D是的中點，過點D作EF垂直于直線AC，垂足為F，交AB的延長線于點E．

(1)求證：EF是⊙O的切線；

(2)若tanA=，AF=6，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2).

【解析】分析：連接OD，由D是的中點得∠1=∠2，又∠A=∠BOC，故∠A=∠1，從而OD∥AF.易證∠EDO=∠F=90°.故可得結論；

（2）設⊙O半徑為r,則OA=OD=OB=r.通過解直角三角形可得解.

詳解：（1）如圖1，連接OD.

∵EF⊥AF,∴∠F=90°.

∵D是的中點,

∴

∴∠1=∠2=∠BOC.

∵∠A=∠BOC, ∴∠A=∠1 .

∴OD∥AF.

∴∠EDO=∠F=90°.

∴OD⊥EF.

∴EF是⊙O的切線.

（2）設⊙O半徑為r,則OA=OD=OB=r.

在Rt△AFE中，tanA=，AF=6,

∴EF=AF·tanA=8.

∴.

∴OE=10-r.

∵cosA= ,

∴cos∠1= cos A=

∴r =， 即⊙O的半徑為.