Question

【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=60°,AC=4,E為斜邊AB的中點,點P是射線BC的一個動點,連接AP、PE,將△AEP沿著邊PE疊,折疊后得到△EPA,當折疊后△EPA與△BEP的重疊部分的面積恰好為△ABP面積的四分之一,則BP的長__________

Answer 1

【答案】4或.

【解析】分析: 根據30°角所對直角邊等于斜邊的一半可求出AB,即可得到AE的值,然后根據勾股定理求出BC,①若與AB交于點F,連接,如圖1,易得,即可得到,.從而可得四邊形是平行四邊形,即可得到,從而可求出BP;②若與BC交于點G,連接,交EP與H,如圖2,同理可得,EG=,根據三角形中位線定理可得AP=4=AC,此時點P與點C重合,從而可求出BP.

詳解:因為Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=60°,AC=4,E為斜邊AB的中點,

所以AB=8,AE=4,BC=,
①若PA’與AB交于點F,連接A’B,如圖1.

由折疊可得AE=AE’=4,.
因為點E是AB的中點,

由題可得,
,
,
所以四邊形A’EPB是平行四邊形,
所以BP=A’E=4;
②若EA’與BC交于點G,連接AA’,交EP與H,如圖2.
．
同理可得,

因為
所以,

所以點P與點C重合,

所以BP=BC=,
故答案為4或