Question

【題目】如圖，已知直線l與⊙O相離．OA⊥l于點A，交⊙O于點P，OA=5，AB與⊙O相切于點B，BP的延長線交直線l于點C．

（1）求證：AB=AC
（2）若PC=2，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：如圖1，連接OB．

∵AB切⊙O于B，OA⊥AC，

∴∠OBA=∠OAC=90°，

∴∠OBP+∠ABP=90°，∠ACP+∠APC=90°，

∵OP=OB，

∴∠OBP=∠OPB，

∵∠OPB=∠APC，

∴∠ACP=∠ABC，

∴AB=AC；

（2）

解：如圖2，延長AP交⊙O于D，連接BD，

設圓半徑為r，則OP=OB=r，PA=5﹣r，

則AB2=OA2﹣OB2=52﹣r2，

AC2=PC2﹣PA2=（2）2﹣（5﹣r）2，

∴52﹣r2=（2）2﹣（5﹣r）2，

解得：r=3，

∴AB=AC=4，

∵PD是直徑，

∴∠PBD=90°=∠PAC，

又∵∠DPB=∠CPA，

∴△DPB∽△CPA，

∴=，

∴=，

解得：PB=．

∴⊙O的半徑為3，線段PB的長為．

【解析】（1）連接OB，根據切線的性質和垂直得出∠OBA=∠OAC=90°，推出∠OBP+∠ABP=90°，∠ACP+∠CPA=90°，求出∠ACP=∠ABC，根據等腰三角形的判定推出即可；
（2）延長AP交⊙O于D，連接BD，設圓半徑為r，則OP=OB=r，PA=5﹣r，根據AB=AC推出52﹣r2=（2）2﹣（5﹣r）2 ， 求出r，證△DPB∽△CPA，得出= ， 代入求出即可．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用切線的性質定理的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握切線的性質：1、經過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經過切點垂直于切線的直線必經過圓心3、圓的切線垂直于經過切點的半徑．