Question

【題目】如圖，正方形ABCD中，點P為AB邊上一點，將△BCP沿CP翻折至△FCP位置，延長至PF交邊AD于E點.

(1) 求證：EF＝DE.

(2) 若DF延長線與CP延長線交于G點，求的值.

(3) 在(2)的條件下，若正方形的邊長為， ，直接寫出DG的長為___________.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析;(2) ;(3)

【解析】試題分析：(1) 連接CE，利用HL判定三角形全等，得出結論即可.

(2) 過點A作AM⊥DG于M，過點C作CN⊥DG于N. 可得△CNG為等腰直角三角形，GM＝DN＝AM.△AGM為等腰直角三角形，AG＝AM＝DF， .

(3) 由AB＝， 得BP＝，AP＝，再由勾股定理和相似得， ，由對角互補四邊形模型可知：AG＋GC＝DG，可得DG＝.

試題解析：

(1) 連接CE

∵∠CFE＝∠CDE＝90°，BC＝CF＝CD

∴Rt△CFE≌Rt△CDE（HL）

∴EF＝DE

(2) 過點A作AM⊥DG于M，過點C作CN⊥DG于N

∴△AMD≌△DNC（AAS）

∴AM＝DN，DM＝CN

∵CF＝CD

∴∠FCN＝∠DCN

又∠BCP＝∠FCP

∴∠NCP＝45°

∴△CNG為等腰直角三角形

∴GN＝CN＝DM

∴GM＝DN＝AM

∴△AGM為等腰直角三角形

∴AG＝AM＝DF

∴

(3) ∵AB＝，

∴BP＝，AP＝

在Rt△BCP中，

∵Rt△GAP∽Rt△BCP

∴

即，

在Rt△AGP中，

由對角互補四邊形模型可知：AG＋GC＝DG

∴DG＝