Question

【題目】如圖1四邊形中，平分，；

（1）試說明與的位置關系,并予以證明：

（2）如圖2，若，作平分交于，平分交于，求的度數．

（3）如圖3，若若是下一點，平分，，平分若下列結論：①的值不變;②的度數不變；可以證明只有一個是正確的，請你作出正確的選擇并求值．

Answer 1

【答案】（1）AB∥CD，理由見解析；（2）45°；（3）②正確，14°

【解析】

（1）根據內錯角相等，兩直線平行進行證明即可；
（2）設∠DCE=∠ACE=α，則∠CAB=2α，根據∠ACB=∠ABC，可得∠ACB=90°-α，進而得到∠BCE=90°，最后根據CF平分∠ECB，可得∠ECF=∠BCE=45°；
（3）根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和，可得∠1=∠BPC+∠ABP，再根據平行線的性質以及角平分線的定義表示出∠MCP、∠DPQ，根據兩直線平行，內錯角相等可得∠NCP=∠CPQ，然后列式表示出∠MCN=∠ABP，從而判定②正確．

解：（1）如圖1，AB∥CD．
證明：∵AC平分∠DAB，
∴∠1=∠CAB，
∵∠1=∠2，
∴∠2=∠CAB，
∴AB∥CD；

（2）∵CE平分∠DCA，AB∥CD，
∴可設∠DCE=∠ACE=α，則∠CAB=2α，
∵∠ACB=∠ABC，
∴△ABC中，∠ACB=（180°-∠CAB）=90°-α，
∴∠BCE=∠BCA+∠ECA=90°-α+α=90°，
∵CF平分∠ECB，
∴∠ECF=∠BCE=45°；

（3）結論②正確．
如圖，根據三角形的外角性質可得，∠1=∠BPC+∠ABP，
∵PQ平分∠BPC，CM平分∠DCP，
∴∠CPQ=∠BPC，∠MCP=∠DCP．
∵AB∥CD，
∴∠1=∠DCP，
∴∠MCP=（∠BPC+∠ABP），
∵PQ∥CN，
∴∠NCP=∠CPQ=∠BPC，
∴∠MCN=∠MCP-∠NCP=（∠BPC+∠ABP）-∠BPC=∠ABP=×28°=14°，
∴結論②∠MCN的度數不變，為14°．