Question

【題目】如圖，拋物線與x軸交于A(x1，0)、B(x2，0)兩點，且x1＞x2，與y軸交于點C(0，4)，其中x1、x2是方程x2－2x－8＝0的兩個根．

(1)求這條拋物線的解析式；

(2)點P是線段AB上的動點，過點P作PE∥AC，交BC于點E，連接CP，當△CPE的面積最大時，求點P的坐標；

(3)探究：若點Q是拋物線對稱軸上的點，是否存在這樣的點Q，使△QBC成為等腰三角形？若存在，請直接寫出所有符合條件的點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=-0.5x2+x+4；（2）P（1，0）；（3）存在，Q1（1，1），Q2（1， ）Q3（1，-），Q4（1，4+），Q5（1，4-）

【解析】試題分析: （1）先通過解方程求出A，B兩點的坐標，然后根據A，B，C三點的坐標，用待定系數法求出拋物線的解析式;（2）本題要通過求△CPE的面積與P點橫坐標的函數關系式而后根據函數的性質來求△CPE的面積的最大值以及對應的P的坐標．△CPE的面積無法直接表示出，可用△CPB和△BEP的面積差來求，設出P點的坐標，即可表示出BP的長，可通過相似三角形△BEP和△BAC求出．△BEP中BP邊上的高，然后根據三角形面積計算方法即可得出△CEP的面積，然后根據上面分析的步驟即可求出所求的值;（3）本題要分三種情況進行討論：①QC=BC，那么Q點的縱坐標就是C點的縱坐標減去或加上BC的長．由此可得出Q點的坐標．②QB=BC，此時Q，C關于x軸對稱，據此可求出Q點的坐標．③QB=QC，Q點在BC的垂直平分線上，可通過相似三角形來求出QC的長，進而求出Q點的坐標;

試題解析:

（1）∵x2-2x-8=0，

∴（x-4）（x+2）=0．

∴x1=4，x2=-2．

∴A（4，0），B（-2，0）．

又∵拋物線經過點A、B、C，設拋物線解析式為y=ax2+bx+c（a≠0），

∴

解得

∴所求拋物線的解析式為y=-0.5x2+x+4;

（2）設P點坐標為（m，0），過點E作EG⊥x軸于點G,如圖所示:

∵點B坐標為（-2，0），點A坐標（4，0），

∴AB=6，BP=m+2．

∵PE∥AC，

∴△BPE∽△BAC．

∴BP：AB=EG：CH

∴EG：4=(m+2):6

∴EG=(2m+4):3

∴S△CPE=S△CBP-S△EBP

=-1/3（m-1）2+3．

又∵-2≤m≤4，

∴當m=1時，S△CPE有最大值3．此時P點的坐標為（1，0）;

（3）存在Q點，
∵BC= ,

設Q（1，n），
當BQ=CQ時，
則32+n2=12+（n-4）2，
解得：n=1，
即Q1（1，1）；
當BC=BQ=,時，9+n2=20，
解得：n=± ,

∴Q2（1， ），Q3（1，-）；

當BC=CQ=時, ，1+（n-4）2=20，
解得：n=4±

∴Q4（1，4+）, Q5（1，4-）;

綜上可得：坐標為Q1（1，1），Q2（1， ）Q3（1，-），Q4（1，4+），Q5（1，4-）.

點睛: 本題著重考查了待定系數法求二次函數解析式、圖形面積的求法、三角形相似、探究等腰三角形的構成情況等知識點，綜合性強，考查學生分類討論，數形結合的數學思想方法.