Question

【題目】 直線MN與直線PQ垂直相交于O，點A在射線OP上運動，點B在射線OM上運動．

（1）如圖1，已知AE、BE分別是∠BAO和∠ABO角的平分線，點A、B在運動的過程中，∠AEB的大小是否會發生變化？若發生變化，請說明理由；若不發生變化，試求出其值；

（2）如圖2，延長BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分線與∠BOQ的角平分線及其延長線相交于E、F，則∠EAF=______°；在△AEF中，如果有一個角是另一個角的3倍，試求∠ABO的度數．

Answer 1

【答案】（1）∠AEB的大小不變，為135°；（2）90；∠ABO為60°或45°．

【解析】

（1）根據直線MN與直線PQ垂直相交于O可知∠AOB=90°，再由AE、BE分別是∠BAO和∠ABO角的平分線得出∠BAE=∠OAB，∠ABE=∠ABO，由三角形內角和定理即可得出結論；

（2）由∠BAO與∠BOQ的角平分線相交于E可知∠EAO=∠BAO，∠EOQ=∠BOQ，進而得出∠E的度數，由AE、AF分別是∠BAO和∠OAG的角平分線可知∠EAF=90°，在△AEF中，由一個角是另一個角的3倍分四種情況進行分類討論．

解：（1）∠AEB的大小不變，

∵直線MN與直線PQ垂直相交于O，

∴∠AOB=90°，

∴∠OAB+∠OBA=90°，

∵AE、BE分別是∠BAO和∠ABO角的平分線，

∴∠BAE=∠OAB，∠ABE=∠ABO，

∴∠BAE+∠ABE=(∠OAB+∠ABO)=×90°=45°，

∴∠AEB=135°；

（2）∵AE、AF分別是∠BAO和∠OAG的角平分線，

∴∠EAO=∠BAO，∠FAO=∠GAO，

∴∠EAF=(∠BAO+∠GAO)=×180°=90°．

故答案為：90；

∵∠BAO與∠BOQ的角平分線相交于E，

∴∠EAO=∠BAO，∠EOQ=∠BOQ，

∴∠E=∠EOQ-∠EAO=(∠BOQ-∠BAO)=∠ABO，

即∠ABO=2∠E，

在△AEF中，∵有一個角是另一個角的3倍，故分四種情況討論：

①∠EAF=3∠E，∠E=30°，則∠ABO=60°；

②∠EAF=3∠F，∠E=60°，∠ABO=120°(舍去)；

③∠F=3∠E，∠E=22.5°，∠ABO=45°；

④∠E=3∠F，∠E=67.5°，∠ABO=135°(舍去)．

∴∠ABO為60°或45°．