Question

如圖，已知在正方形ABCD中，AB=2，P是邊BC上的任意一點，E是邊BC延長線上一點，連接AP．過點P作PF⊥AP，與∠DCE的平分線CF相交于點F．連接AF，與邊CD相交于點G，連接PG．
（1）求證：AP=FP；
（2）⊙P、⊙G的半徑分別是PB和GD，試判斷⊙P與⊙G兩圓的位置關系，并說明理由；
（3）當BP取何值時，PG∥CF．

Answer 1

分析：（1）欲證AP=FP利用原圖無法證明，需構建三角形且使之全等，因此在邊AB上截取線段AH，使AH=PC，連接PH，證明△APH與△CPF全等即可．
（2）欲判斷⊙P與⊙G兩圓的位置關系，只要判定線段PB、DG、PG的數量關系即可．根據三角形全等容易證明．
（3）此題用反證法求出．先把PG∥CF作已知，運用三角函數可以求出．

解答：（1）證明：在邊AB上截取線段AH，使AH=PC，連接PH，
由正方形ABCD，得∠B=∠BCD=∠D=90°，AB=BC=AD，
∵∠APF=90°，
∴∠APF=∠B，
∵∠APC=∠B+∠BAP=∠APF+∠FPC，
∴∠PAH=∠FPC；
又∵∠BCD=∠DCE=90°，CF平分∠DCE，
∴∠FCE=45°，
∴∠PCF=135°；
又∵AB=BC，AH=PC，
∴BH=BP，即得∠BPH=∠BHP=45°，
∴∠AHP=135°，即得∠AHP=∠PCF；
在△AHP和△PCF中，∠PAH=∠FPC，AH=PC，∠AHP=∠PCF，
∴△AHP≌△PCF，
∴AP=PF．

（2）解：⊙P與⊙G兩圓的位置關系是外切．
延長CB至點M，使BM=DG，連接AM，
由AB=AD，∠ABM=∠D=90°，BM=DG，
得△ADG≌△ABM，即得AG=AM，∠MAB=∠GAD；
∵AP=FP，∠APF=90°，
∴∠PAF=45°，
∵∠BAD=90°，
∴∠BAP+∠DAG=45°，即得∠MAP=∠PAG=45°；
于是，由AM=AG，∠MAP=∠PAG，AP=AP，
得△APM≌△APG，
∴PM=PG，
即得PB+DG=PG，（2分）
∴⊙P與⊙G兩圓的位置關系是外切．（1分）

（3）解：由PG∥CF，得∠GPC=∠FCE=45°，（1分）
于是，由∠BCD=90°，得∠GPC=∠PGC=45°，
∴PC=GC．即得DG=BP．（1分）
設BP=x，則DG=x．由AB=2，得PC=GC=2-x，
∵PB+DG=PG，
∴PG=2x．
在Rt△PGC中，∠PCG=90°，得sin∠GPC=

CG

PG

=

2

2

．（1分）
即得

2-x

2x

=

2

2

，
解得x=2

2

-2，（1分）
∴當BP=(2

2

-2)時，PG∥CF．（1分）

點評：此題考查全等三角形的判定和性質及正方形性質的理解及運用．