Question

（2013•倉(cāng)山區(qū)模擬）如圖，已知在正方形ABCD網(wǎng)格中，每個(gè)小方格都是邊長(zhǎng)為1的正方形，E是邊DC上的一個(gè)網(wǎng)格的格點(diǎn)．
（1）

DE

EB

的值是

1

5

；
（2）按要求畫(huà)圖：在BC邊長(zhǎng)找出格點(diǎn)F，連接AF，使AF⊥BE；
（3）在（2）的條件下，連接EF，求cos∠AFE的值．（結(jié)果保留根式）

Answer 1

分析：（1）利用勾股定理列式求出BE的長(zhǎng)，然后求出比值即可；
（2）根據(jù)正方形的性質(zhì)，取BF=CE即可；
（3）利用勾股定理列式求出AF，再利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例求出FG，再利用勾股定理列式求出EF，然后根據(jù)銳角的余弦等于鄰邊比斜邊列式計(jì)算即可得解．

解答：解：（1）根據(jù)勾股定理，EB=

42+32

=5，
所以，

DE

EB

=

1

5

；

（2）取BF=CE，
∵在△ABF和△BCE中，

AB=BC ∠ABC=∠BCE BF=CE

，
∴△ABF≌△BCE（SAS），
∴∠BAF=∠CBE，
∵∠ABE+∠CBE=90°，
∴∠BAF+∠ABE=90°，
設(shè)AF、BE相交于G，則∠AGB=180°-（∠BAF+∠ABE）=180°-90°=90°，
∴AF⊥BE；

（3）根據(jù)勾股定理，AF=

42+32

=5，
∵AF⊥BE，∠ABC=90°，
∴△BGF∽△ABF，
∴

FG

BF

=

BF

AB

，
即

FG

3

=

3

5

，
解得FG=

9

5

，
根據(jù)勾股定理，EF=

12+32

=

10

，
∴cos∠AFE=

FG

EF

=

9 5

10

=

9 10

50

．
故答案為：

1

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，主要利用了正方形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例的性質(zhì)，以及銳角三角函數(shù)，難點(diǎn)在于準(zhǔn)確確定出點(diǎn)F的位置．