Question

【題目】如圖，已知拋物線y=（x+2）（x﹣4）（k為常數，且k＞0）與x軸從左至右依次交于A，B兩點，與y軸交于點C，經過點B的直線y=﹣x+b與拋物線的另一交點為D．

（1）若點D的橫坐標為﹣5，求拋物線的函數表達式；

（2）若在第一象限內的拋物線上有點P，使得以A，B，P為頂點的三角形與△ABC相似，求k的值；

（3）在（1）的條件下，設F為線段BD上一點（不含端點），連接AF，一動點M從點A出發，沿線段AF以每秒1個單位的速度運動到F，再沿線段FD以每秒2個單位的速度運動到D后停止，當點F的坐標是多少時，點M在整個運動過程中用時最少？

Answer 1

【答案】（1）拋物線的函數表達式為：y=（x+2）（x﹣4）；

（2）k=或k=；

（3）當點F坐標為（﹣2，2）時，點M在整個運動過程中用時最少．

【解析】

試題分析：（1）首先求出點A、B坐標，然后求出直線BD的解析式，求得點D坐標，代入拋物線解析式，求得k的值；

（2）因為點P在第一象限內的拋物線上，所以∠ABP為鈍角．因此若兩個三角形相似，只可能是△ABC∽△APB或△ABC∽△PAB．如答圖2，按照以上兩種情況進行分類討論，分別計算；

（3）由題意，動點M運動的路徑為折線AF+DF，運動時間：t=AF+DF．如答圖3，作輔助線，將AF+DF轉化為AF+FG；再由垂線段最短，得到垂線段AH與直線BD的交點，即為所求的F點．

試題解析：（1）拋物線y=（x+2）（x﹣4），

令y=0，解得x=﹣2或x=4，

∴A（﹣2，0），B（4，0）．

∵直線y=﹣x+b經過點B（4，0），

∴﹣×4+b=0，解得b=，

∴直線BD解析式為：y=﹣x+．

當x=﹣5時，y=3，

∴D（﹣5，3）．

∵點D（﹣5，3）在拋物線y=（x+2）（x﹣4）上，

∴（﹣5+2）（﹣5﹣4）=3，

∴k=．

∴拋物線的函數表達式為：y=（x+2）（x﹣4）．

（2）由拋物線解析式，令x=0，得y=﹣k，

∴C（0，﹣k），OC=k．

因為點P在第一象限內的拋物線上，所以∠ABP為鈍角．

因此若兩個三角形相似，只可能是△ABC∽△APB或△ABC∽△PAB．

①若△ABC∽△APB，則有∠BAC=∠PAB，如答圖2﹣1所示．

設P（x，y），過點P作PN⊥x軸于點N，則ON=x，PN=y．

tan∠BAC=tan∠PAB，即：，

∴．

∴P（x，），代入拋物線解析式y=（x+2）（x﹣4），

得（x+2）（x﹣4）=x+k，整理得：x2﹣6x﹣16=0，

解得：x=8或x=﹣2（與點A重合，舍去），

∴P（8，5k）．

∵△ABC∽△APB，

∴，即，

解得：k=．

②若△ABC∽△PAB，則有∠ABC=∠PAB，如答圖2﹣2所示．

與①同理，可求得：k=．

綜上所述，k=或k=．

（3）如答圖3，由（1）知：D（﹣5，3），

如答圖2﹣2，過點D作DN⊥x軸于點N，則DN=3，ON=5，BN=4+5=9，

∴tan∠DBA=，

∴∠DBA=30°．

過點D作DK∥x軸，則∠KDF=∠DBA=30°．

過點F作FG⊥DK于點G，則FG=DF．

由題意，動點M運動的路徑為折線AF+DF，運動時間：t=AF+DF，

∴t=AF+FG，即運動的時間值等于折線AF+FG的長度值．

由垂線段最短可知，折線AF+FG的長度的最小值為DK與x軸之間的垂線段．

過點A作AH⊥DK于點H，則t最小=AH，AH與直線BD的交點，即為所求之F點．

∵A點橫坐標為﹣2，直線BD解析式為：y=﹣x+，

∴y=﹣×（﹣2）+=2，

∴F（﹣2，2）．

綜上所述，當點F坐標為（﹣2，2）時，點M在整個運動過程中用時最少．