Question

【題目】閱讀理解：如圖1，若一個四邊形的兩條對角線互相垂直，則稱這個四邊形為垂美四邊形．

（1）概念理解：如圖2，在四邊形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，問四邊形ABCD是垂美四邊形嗎？請說明理由；

（2）性質探究：如圖1，試在垂美四邊形ABCD中探究AB2，CD2，AD2，BC2之間的關系，并說明理由；

（3）解決問題：如圖3，分別以Rt△ABC的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE，連結CE、BG、GE、CE交BG于點N，交AB于點M．已知AC＝，AB＝2，求GE的長．

Answer 1

【答案】（1）四邊形ABCD是垂直四邊形，理由見解析；（2）AB2+CD2＝AD2+BC2，見解析；（3）

【解析】

（1）由題意直接根據垂直平分線的判定定理證明即可；

（2）由題意直接根據垂直的定義和勾股定理解答即可；

（3）由題意根據垂美四邊形的性質、勾股定理、結合（2）的結論計算．

解：（1）如圖2，四邊形ABCD是垂直四邊形；

理由如下：

連接AC、BD交于點E，

∵AB＝AD，

∴點A在線段BD的垂直平分線上，

∵CB＝CD，

∴點C在線段BD的垂直平分線上，

∴直線AC是線段BD的垂直平分線，

∴AC⊥BD，即四邊形ABCD是垂美四邊形；

（2）猜想結論：AB2+CD2＝AD2+BC2，

證明：如圖1，在四邊形ABCD中，

∵AC⊥BD，

∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，

由勾股定理得：AB2+CD2＝AO2+BO2+OD2+OC2AD2+BC2＝AO2+BO2+OD2+OC2

∴AB2+CD2＝AD2+BC2，

（3）如圖3，連接CG，BE，

∵∠CAG＝∠BAE＝90°，

∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝∠CAE，

在△GAB和△CAE中，

∴△GAB≌△CAE（SSS），

∴∠ABG＝∠AEC，

∵∠AEC+∠AME＝90°，

∴∠ABG+∠BMN＝90°，

∴∠BNC＝90°，即BG⊥CE，

∴四邊形CGEB是垂美四邊形，

由（2）得：EG2+BC2＝CG2+BE2

∵，AB＝2，

∴BC＝1，，，

∴EG2＝CG2+BE2﹣BC2＝6+8﹣2＝13，

∴．