Question

【題目】已知：在中，是邊上的中線，點是的中點；過點作，交的延長線于，連接.

（1）求證：四邊形是平行四邊形；

（2）當分別滿足什么條件時，四邊形是菱形；四邊形是矩形，并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）見詳解；（2）①當時，四邊形是矩形；②當，四邊形是菱形.

【解析】

（1）先證明，然后由全等三角形的性質，得到BD=CD=AF，即可證明結論成立；

（2）①根據矩形的判定定理即可得到結論；②根據菱形的判定定理即可得到結論．

（1）證明：

∵，∴，

在和中

∵

∴，

∴，

∴，

又∵，

∴四邊形為平行四邊形；

（2）①當時，四邊形是矩形；

由（1）可知，，，

∴四邊形ABDF是平行四邊形，

∴AB=DF，

∴AB=AC=DF，

∴平行四邊形ADCF是矩形；

②當，四邊形是菱形；

由①可知，四邊形ABDF是平行四邊形，

∴AB∥DF，

∵，即AB⊥AC，

∴DF⊥AC，

∴平行四邊形ADCF是菱形.