Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（1， ），點(diǎn)B（2，0），P為線段OB上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PQ∥OA，交AB于點(diǎn)Q，連接AP，則△APQ面積最大值為（ ）
A.
B.
C.
D.

Answer 1

【答案】B
【解析】解：如圖，作AF⊥OB于F，QE⊥OB于E．設(shè)OP=x， ，
∵點(diǎn)A（1， ），點(diǎn)B（2，0），
∴點(diǎn)F是OB的中點(diǎn)，
∴OF=2÷2=1，AF= ，
∵OF=FB，AF⊥OB，
∴AO=AB，
∴OA=AB= =2，
∵OA=AB=OB=2，
∴△AOB是等邊三角形，
∴∠BOA=∠BAO=∠ABO=60°，
∵PQ∥OA，
∴∠QPB=∠AOB=60°，
∴△BPQ是等邊三角形，
∴BP=BQ=PQ=2﹣x，
∴S△BPQ= （2﹣x）2 ，
∴S△APQ=S△AOB﹣S△AOP﹣S△BPQ
= ×22﹣ x ﹣ （2﹣x）2
= ﹣ x﹣ ×（4﹣2x+x2）
=﹣ （x﹣1）2+ ，
≤
∴當(dāng)x=1時(shí)，△APQ面積最大值為 ．
故選：B．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的二次函數(shù)的最值和相似三角形的判定與性質(zhì)，需要了解如果自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù)，那么函數(shù)在頂點(diǎn)處取得最大值（或最小值），即當(dāng)x=-b/2a時(shí)，y最值=(4ac-b2)/4a；相似三角形的一切對應(yīng)線段(對應(yīng)高、對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方才能得出正確答案．