Question

【題目】在一堂關于“折紙問題”的數學綜合實踐探究課中，小明同學將一張矩形ABCD紙片，按如圖進行折疊，分別在BC、AD兩邊上取兩點E，F，使CE=AF，分別以DE，BF為對稱軸將△CDE與△ABF翻折得到△C′DE與△A′BF，且邊C′E與A′B交于點G，邊A′F與C′D交于一點H．已知tan∠EBG= ，A′G=6，C′G=1，則矩形紙片ABCD的周長為 ．

Answer 1

【答案】62
【解析】解：延長BA′交CD于M，作MN⊥C′D于N，如圖所示：

∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A=∠C=90°，AD=BC，AB=CD，
由折疊的性質得：∠C′=∠C=90°，∠A′=∠A=90°，CE=C′E，AB=A′B，∠CDE=∠C′DE，∠CED=∠C′ED，∠ABF=∠A′BF，∠AFB=∠A′FB，
在△ABF和△CDE中，
，
∴△ABF≌△CDE（SAS），
∴∠ABF=∠CDE，∠CED=∠AFB，
∴∠BEG=∠DFH，∠EBG=∠FDH，
∵CE=AF，
∴BE=DF，
在△BEG和△DFH中，
，
∴△BEG≌△DFH（ASA），
∴∠BGE=∠DHF，
∵∠A′GC′=∠BGE，∠A′HC′=∠DHF，
∴∠BGE=∠DHF=∠A′HC′=∠A′GC′=（360°﹣90°﹣90°）÷2=90°，
∴四邊形MNC′G是矩形，
∴MN=C′G=1，∠GMN=90°，
∴∠DMN=∠EBG，
∵tan∠EBG= ，
∴設EG=3x，BG=4x，則BE=5x，
∴CE=C′E=3x+1，CD=AB=A′B=4x+6，
∵tan∠DMN= =tan∠EBG= ，MN=1，
∴DN= ，
∴DM= ，
∵tan∠EBG= = ，
即 ，解得：x=2，
∴AB=CD=14，AD=BC=17，
∴矩形ABCD的周長=2×（14+17）=62．
故答案為：62．
延長BA′交CD于M，作MN⊥C′D于N，由矩形的性質得出∠A=∠C=90°，AD=BC，AB=CD，由折疊的性質得出∠C′=∠C=90°，∠A′=∠A=90°，CE=C′E，AB=A′B，∠CDE=∠C′DE，∠CED=∠C′ED，∠ABF=∠A′BF，∠AFB=∠A′FB，由SAS證明△ABF≌△CDE（SAS），得出∠ABF=∠CDE，∠CED=∠AFB，由ASA證明△BEG≌△DFH，得出∠BGE=∠DHF，證出四邊形MNC′G是矩形，得出MN=C′G=1，∠GMN=90°，設EG=3x，BG=4x，則BE=5x，CE=C′E=3x+1，CD=AB=A′B=4x+6，由三角函數求出DN= ，由勾股定理得出DM= ，再由三角函數得出方程，解方程求出x=2，得出AB=CD=14，AD=BC=17，即可得出矩形ABCD的周長．