Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，P為AD上一點，連接BP，CP，過C作CE⊥BP于點E，連接ED交PC于點F．

（1）求證：△ABP∽△ECB；
（2）若點E恰好為BP的中點，且AB=3，AP=k（0＜k＜3）．
①求 的值（用含k的代數式表示）；
②若M、N分別為PC，EC上的任意兩點，連接NF，NM，當k= 時，求NF+NM的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：在矩形ABCD中，

∵∠A=∠ABC=90°，

∵CE⊥BP，

∴∠CEB=90°，

∴∠A=∠CEB，

∴∠APB+∠ABP=∠ABP+∠PBC=90°，

∴∠APB=∠PBC，

∴△ABP∽△ECB

（2）

解：①∵△ABP∽△ECB，

∴ ，

∵BP= ，E為BP的中點，

∴BE= ，

∴BC= ，

過P作PH⊥PD交DE于H，

∴PD=BC﹣AP= ，

∵∠BEC=∠ADC=90°，

∴P，E．C，D四點共圓，

∴∠PDH=∠PCE=∠BCE=∠ABP，

∴△APB∽△PHD，

∴ ，

∴PH= ，

∴ = ；

②當k= 時， = ，

過F作FG⊥BC于G交CE于N，反向延長交AD于H，

則FH⊥AD，過N作NM⊥PC于M，

∴NF+NM的最小值即為FG的長，

∴ ，

∴FG= ，

即NF+NM的最小值是 ．

【解析】（1）根據矩形的想知道的∠A=∠ABC=90°，由余角的性質得到∠APB=∠PBC，根據相似三角形的判定定理即可得到結論；（2）①根據相似三角形的性質得到 ，得到BP= ，過P作PH⊥PD交DE于H，推出P，E．C，D四點共圓，根據圓周角定理得到∠PDH=∠PCE=∠BCE=∠ABP，根據相似三角形的想知道的 ，即可得到結論；②把k= 代入 = ，過F作FG⊥BC于G交CE于N，反向延長交AD于H，則FH⊥AD，過N作NM⊥PC于M，根據線段公理得到NF+NM的最小值即為FG的長，即可得到結論．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解相似三角形的性質的相關知識，掌握對應角相等，對應邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形．