Question

【題目】如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于點A、B，與直線AC：y=﹣x﹣6交y軸于點C，點D是拋物線的頂點，且橫坐標為﹣2．

（1）求出拋物線的解析式．
（2）判斷△ACD的形狀，并說明理由．
（3）直線AD交y軸于點F，在線段AD上是否存在一點P，使∠ADC=∠PCF？若存在，直接寫出點P的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：（1）由直線AC：y=﹣x﹣6，可得A（﹣6，0），C（0，﹣6），

∵拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于點A、B，拋物線的頂點D的橫坐標為﹣2，

∴B（2，0）．

把A、B、C三點坐標分別代入y=ax2+bx+c，得

，解得，

∴拋物線的解析式為；

（2）

解：△ACD是直角三角形，理由如下：

∵=，

∴頂點D的坐標是（﹣2，﹣8）．

∵A（﹣6，0），C（0，﹣6），

∴AC2=62+62=72，CD2=22+（﹣8+6）2=8，AD2=（﹣2+6）2+82=80，

∴AC2+CD2=AD2，

∴△ACD是直角三角形，∠ACD=90°；

（3）

解：假設在線段AD上存在一點P，使∠ADC=∠PCF．

設直線AD的解析式為y=mx+n，

∵A（﹣6，0），D（﹣2，﹣8），

∴，解得，

∴直線AD的解析式為y=﹣2x﹣12，

∴F點坐標為（0，﹣12），設點P的坐標為（x，﹣2x﹣12）．

∵∠ADC=∠DCF+∠DFC，∠PCF=∠DCF+∠PCD，∠ADC=∠PCF，

∴∠DFC=∠PCD．

在△CPD與△FPC中，

，

∴△CPD∽△FPC，

∴，

∴=，

整理得，35x2+216x+324=0，

解得x1=，x2=（舍去），

當x=時，﹣2x﹣12=﹣2×（）﹣12=，

故所求點P的坐標為（，）．

【解析】（1）先由直線AC的解析式為y=﹣x﹣6，可得A（﹣6，0），C（0，﹣6），再根據拋物線的對稱性求出B（2，0）．然后把A、B、C三點坐標分別代入y=ax2+bx+c，利用待定系數法即可求解；
（2）先求出拋物線頂點D的坐標，再根據兩點間的距離公式計算得出AC2=62+62=72，CD2=22+（﹣8+6）2=8，AD2=（﹣2+6）2+82=80，那么AC2+CD2=AD2 ， 利用勾股定理的逆定理即可得到△ACD是直角三角形；
（3）先利用待定系數法求出直線AD的解析式為y=﹣2x﹣12，得到F（0，﹣12），設點P的坐標為（x，﹣2x﹣12）．由∠ADC=∠DCF+∠DFC，∠PCF=∠DCF+∠PCD，∠ADC=∠PCF，可得∠DFC=∠PCD．根據兩角對應相等的兩三角形相似證明△CPD∽△FPC，那么，依此列出比例式=，解方程求出x的值，進而得到點P的坐標．