Question

【題目】矩形AOCD繞頂點A（0，5）逆時針方向旋轉，當旋轉到如圖所示的位置時，邊BE交邊CD于M，且ME=2，CM=4．

（1）求AD的長；
（2）求陰影部分的面積和直線AM的解析式；
（3）求經過A、B、D三點的拋物線的解析式；
（4）在拋物線上是否存在點P，使S△PAM=？若存在，求出P點坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：作BP⊥AD于P，BQ⊥MC于Q，如圖1，

∵矩形AOCD繞頂點A（0，5）逆時針方向旋轉得到矩形ABEF，

∴AB=AO=5，BE=OC=AD，∠ABE=90°，

∵∠PBQ=90°，

∴∠ABP=∠MBQ，

∴Rt△ABP∽Rt△MBQ，

∴，

設BQ=PD=x，AP=y，則AD=x+y，BM=x+y﹣2，

∴，

∴PBMQ=xy，

∵PB﹣MQ=DQ﹣MQ=DM=1，

∴（PB﹣MQ）2=1，即PB2﹣2PBMQ+MQ2=1，

∴52﹣y2﹣2xy+（x+y﹣2）2﹣x2=1，解得x+y=7，

∴BM=5，

∴BE=BM+ME=5+2=7，

∴AD=7；

（2）

解：∵AB=BM，

∴Rt△ABP≌Rt△MBQ，

∴BQ=PD=7﹣AP，MQ=AP，

∵BQ2+MQ2=BM2，

∴（7﹣MQ）2+MQ2=52，解得MQ=4（舍去）或MQ=3，

∴BQ=7﹣3=4，

∴S陰影部分=S梯形ABQD﹣S△BQM

=×（4+7）×4﹣×4×3

=16；

設直線AM的解析式為y=kx+b，

把A（0，5），M（7，4）代入得，解得，

∴直線AM的解析式為y=﹣x+5；

（3）

解：設經過A、B、D三點的拋物線的解析式為y=ax2+bx+c，

∵AP=MQ=3，BP=DQ=4，

∴B（3，1），

而A（0，5），D（7，5），

∴，解得，

∴經過A、B、D三點的拋物線的解析式為y=x2﹣x+5；

（4）

解：當點P在線段AM的下方的拋物線上時，作PK∥y軸交AM于K，如圖2

設P（x，﹣x+5），則K（x，﹣x+5），則KP=﹣+x，根據三角形面積公式可得到（﹣x2+x）7=，解得x1=3，x2=，于是得到此時P點坐標為（3，1）、（，）；再求出過點（3，1）與（，）的直線l的解析式為y=﹣x+，則可得到直線l與y軸的交點A′的坐標為（0，），所以AA′=，然后把直線AM向上平移個單位得到l′，直線l′與拋物線的交點即為P點，由于A″（0，），則直線l′的解析式為y=﹣x+，再通過解方程組得P點坐標為(3,1)、

（）、（）、（）．

【解析】

（1）作BP⊥AD于P，BQ⊥MC于Q，如圖1，根據旋轉的性質得AB=AO=5，BE=OC=AD，∠ABE=90°，利用等角的余角相等得∠ABP=∠MBQ，可證明Rt△ABP∽Rt△MBQ得到，設BQ=PD=x，AP=y，則AD=x+y，所以BM=x+y﹣2，利用比例性質得到PBMQ=xy，而PB﹣MQ=DQ﹣MQ=DM=1，利用完全平方公式和勾股定理得到52﹣y2﹣2xy+（x+y﹣2）2﹣x2=1，解得x+y=7，則BM=5，BE=BM+ME=7，所以AD=7；

（2）由AB=BM可判斷Rt△ABP≌Rt△MBQ，則BQ=PD=7﹣AP，MQ=AP，利用勾股定理得到（7﹣MQ）2+MQ2=52，解得MQ=4（舍去）或MQ=3，則BQ=4，根據三角形面積公式和梯形面積公式，利用S陰影部分=S梯形ABQD﹣S△BQM進行計算即可；然后利用待定系數法求直線AM的解析式；

（3）先確定B（3，1），然后利用待定系數法求拋物線的解析式；

（4）當點P在線段AM的下方的拋物線上時，作PK∥y軸交AM于K，如圖2設P（x，﹣x+5），則K（x，﹣x+5），則KP=﹣+x，根據三角形面積公式得到（﹣x2+x）7=，解得x1=3，x2=，于是得到此時P點坐標為（3，1）、（，）；再求出過點（3，1）與（，）的直線l的解析式為y=﹣x+，則可得到直線l與y軸的交點A′的坐標為（0，），所以AA′=，然后把直線AM向上平移個單位得到l′，直線l′與拋物線的交點即為P點，由于A″（0，），則直線l′的解析式為y=﹣x+，再通過解方程組得P點坐標．

【考點精析】本題主要考查了二次函數圖象的平移的相關知識點，需要掌握平移步驟：（1）配方 y=a(x-h)2+k，確定頂點（h,k）（2）對x軸左加右減；對y軸上加下減才能正確解答此題．