Question

【題目】如圖，拋物線（a≠0）經(jīng)過A（-1，0），B（2，0）兩點，與y軸交于點C．

（1）求拋物線的解析式及頂點D的坐標(biāo)；

（2）點P在拋物線的對稱軸上，當(dāng)△ACP的周長最小時，求出點P的坐標(biāo)；

（3） 點N在拋物線上，點M在拋物線的對稱軸上，是否存在以點N為直角頂點的Rt△DNM與Rt△BOC相似，若存在，請求出所有符合條件的點N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1），D（，）；（2）P（，）；（3）存在．N（，）或（，）或（，）或（，）．

【解析】

試題分析：（1）利用待定系數(shù)法求出拋物線解析式；

（2）確定出當(dāng)△ACP的周長最小時，點P就是BC和對稱軸的交點，利用兩點間的距離公式計算即可；

（3）作出輔助線，利用tan∠MDN=2或，建立關(guān)于點N的橫坐標(biāo)的方程，求出即可．

試題解析：（1）由于拋物線 （a≠0）經(jīng)過A（-1，0），B（2，0）兩點，因此把A、B兩點的坐標(biāo)代入 （a≠0），可得：；解方程組可得：，故拋物線的解析式為：，∵=，所以D的坐標(biāo)為（，）．

（2）如圖1，設(shè)P（，k），∵，∴C（0，－1），∵A（-1，0），B（2，0），∴A、B兩點關(guān)于對稱軸對稱，連接CB交對稱軸于點P，則△ACP的周長最小．設(shè)直線BC為y=kx+b，則：，解得：，∴直線BC為：．當(dāng)x=時，=，∴P（，）；

（3）存在．如圖2，過點作NF⊥DM，∵B（2，0），C（0，﹣1），∴OB=2，OC=1，∴tan∠OBC=，tan∠OCB==2，設(shè)點N（m，），∴FN=|m﹣|，F(xiàn)D=||=||，∵Rt△DNM與Rt△BOC相似，∴∠MDN=∠OBC，或∠MDN=∠OCB；

①當(dāng)∠MDN=∠OBC時，∴tan∠MDN==，∴，∴m=（舍）或m=或m=，∴N（，）或（，）；

②當(dāng)∠MDN=∠OCB時，∴tan∠MDN==2，∴，∴m=（舍）或m=或m=，∴N（，）或（，）；

∴符合條件的點N的坐標(biāo)（，）或（，）或（，）或（，）．