Question

【題目】如圖，P是等邊三角形ABC內一點，將線段AP繞點A順時針旋轉60°得到線段AQ，連接BQ．若PA=6，PB=8，PC=10，則四邊形APBQ的面積為 ．

Answer 1

【答案】24+9
【解析】解：連結PQ，如圖， ∵△ABC為等邊三角形，
∴∠BAC=60°，AB=AC，
∵線段AP繞點A順時針旋轉60°得到線段AQ，
∴AP=PQ=6，∠PAQ=60°，
∴△APQ為等邊三角形，
∴PQ=AP=6，
∵∠CAP+∠BAP=60°，∠BAP+∠BAQ=60°，
∴∠CAP=∠BAQ，
在△APC和△ABQ中，
，
∴△APC≌△ABQ，
∴PC=QB=10，
在△BPQ中，∵PB2=82=64，PQ2=62 ， BQ2=102 ，
而64+36=100，
∴PB2+PQ2=BQ2 ，
∴△PBQ為直角三角形，∠BPQ=90°，
∴S四邊形APBQ=S△BPQ+S△APQ= ×6×8+ ×62=24+9 ．
故答案為24+9 ．

連結PQ，如圖，根據等邊三角形的性質得∠BAC=60°，AB=AC，再根據旋轉的性質得AP=PQ=6，∠PAQ=60°，則可判斷△APQ為等邊三角形，所以PQ=AP=6，接著證明△APC≌△ABQ得到PC=QB=10，然后利用勾股定理的逆定理證明△PBQ為直角三角形，再根據三角形面積公式，利用S四邊形APBQ=S△BPQ+S△APQ進行計算．