Question

【題目】在學習了數軸后，小亮決定對數軸進行變化應用：

（1）應用一：已知點在數軸上表示為-2，數軸上任意一點表示的數為，則兩點的距離可以表示為 ；應用這個知識，請寫出當 時， 有最小值為 ．

（2）應用二：從數軸上取下一個單位長度的線段，第一次剪掉原長的，第二次剪掉剩下的，依此類推，每次都剪掉剩下的，則剪掉4次后剩下線段長度為 ；應用這個原理，請計算：；

（3）應用三：如圖，將一根拉直的細線看作數軸，一個三邊長分別為，，的三角形的頂點與原點重合，邊在數軸正半軸上，將數軸正半軸的線沿的順序依次纏繞在三角形的邊上，負半軸的線沿的順序依次纏繞在三角形的邊上．

①如果正半軸的線纏繞了3圈，負半軸的線纏繞了5圈，求繞在點上的所有數之和；

②如果正半軸的線不變，將負半軸的線拉長一倍，即原線上的點-2的位置對應著拉長后的數-1，并將三角形向正半軸平移一個單位后再開始繞，求繞在點且絕對值不超過60的所有數之和．

Answer 1

【答案】（1），，14；（2），；（3）①；②-160

【解析】

(1)根據數軸上兩點間的距離的表示來列式即可；

(2)第一次剪掉的長度是，剩下的長度是；第二次剪掉的長度是，剩下的長度是；以此類推，即可求得答案；

(3)①分別找出正半軸和負半軸在點C上的數字之間的規律，即可求出所有數字之和；

②分別找出繞在點B且絕對值不超過60的所有數字，求和即可．

(1)已知點A在數軸上表示為，數軸上任意一點B表示的數為，則AB兩點的距離可以表示為；

根據的幾何意義，可得：

表示到數軸上，3，0，5，6五個數的距離之和，

∴當與重合時，有最小值，最小值為14，此時．

故答案為：，，14；

(2)第一次剪掉的長度是，剩下的長度是；

第二次剪掉的長度是，剩下的長度是；

第三次剪掉的長度是，剩下的長度是；

第四次剪掉的長度是，剩下的長度是；

，

第八次剪掉的長度是，剩下的長度是；

∴，

故答案為：，；

(3)①如果正半軸的線纏繞了5圈，繞在點C的數字分別為：9，21，33，45，57；
負半軸的線纏繞了3圈，繞在點C的數字分別為：-3，-15，-27．
則繞在點C上的所有數字之和為：；

②如果正半軸的線不變，并將三角形ABC向正半軸平移一個單位后再開始繞，
則正半軸上繞在點B且絕對值不超過60的數字有：5，17，29，41，53；
將負半軸的線拉長一倍，并將三角形ABC向正半軸平移一個單位后再開始繞，
則負半軸上繞在點B且絕對值不超過60的數字有：-3.5，-9.5，-15.5，-21.5，-27.5，-33.5，-39.5，-45.5，-51.5，-57.5．
則繞在點B且絕對值不超過60的數字之和為：．

故答案為：①；②．