Question

【題目】如圖1，二次函數y=ax2+bx﹣4（a≠0）的圖象與x軸交于A（3，0），B（﹣1，0）兩點，與y軸交于點C．

（1）求該二次函數的解析式及點C的坐標；
（2）設該拋物線的頂點為D，求△ACD的面積；
（3）若點P，Q同時從A點出發，如圖2（注：圖2與圖1完全相同），都以每秒1個單位長度的速度分別沿線段AB，AC運動，當其中一點到達終點時，另一點也隨之停止運動，當P，Q運動到t秒時，將△APQ沿PQ所在直線翻折，點A恰好落在拋物線上E處，判定此時四邊形APEQ的形狀，說明理由，并求出點E的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）

解：把點A（3，0），B（﹣1，0）代入y=ax2+bx﹣4（a≠0）得：

，

解得：

（2）

解：過點D作DM⊥y軸于點M，

∵y= x2﹣ x﹣4= （x﹣1）2﹣ ，

∴點D（1，﹣ ）、點C（0，﹣4），

則S△ACD=S梯形AOMD﹣S△CDM﹣S△AOC

= ×（1+3）× ﹣ ×（ ﹣4）×1﹣ ×3×4

=4

（3）

解：四邊形APEQ為菱形，E點坐標為（﹣ ，﹣ ）．理由如下

如圖2，E點關于PQ與A點對稱，過點Q作，QF⊥AP于F，

∵AP=AQ=t，AP=EP，AQ=EQ

∴AP=AQ=QE=EP，

∴四邊形AQEP為菱形，

∵FQ∥OC，

∴ = = ，

∴ = =

∴AF= t，FQ= t

∴Q（3﹣ t，﹣ t），

∵EQ=AP=t，

∴E（3﹣ t﹣t，﹣ t），即E（3﹣ t，﹣ t），

∵E在二次函數y= x2﹣ x﹣4上，

∴﹣ t= （3﹣ t）2﹣ （3﹣ t）﹣4，

∴t= ，或t=0（與A重合，舍去），

則3﹣ t=﹣ ，﹣ t=﹣ ，

∴E（﹣ ，﹣ ）

【解析】（1）將A，B點坐標代入函數y=ax2+bx﹣4中，求得b、a，進而可求解析式；（2）由解析式先求得點D、C坐標，再根據S△ACD=S梯形AOMD﹣S△CDM﹣S△AOC ， 列式計算即可；（3）注意到P，Q運動速度相同，則△APQ運動時都為等腰三角形，又由A、E對稱，則AP=EP，AQ=EQ，易得四邊形四邊都相等，即菱形．利用菱形對邊平行且相等的性質可用t表示E點坐標，又E在二次函數的圖象上，所以代入即可求t，進而E可表示．
【考點精析】認真審題，首先需要了解二次函數的圖象(二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點)，還要掌握二次函數的性質(增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小)的相關知識才是答題的關鍵．