Question

【題目】如圖1，在中，∠B=90°，，點D，E分別是邊BC，AC的中點，連接將繞點C按順時針方向旋轉，記旋轉角為．

問題發現：

當時，_____；當時，_____．

拓展探究：

試判斷：當時，的大小有無變化？請僅就圖2的情況給出證明．

問題解決：

當旋轉至A、D、E三點共線時，直接寫出線段BD的長．

Answer 1

【答案】（1）①；②；（2）的大小沒有變化；（3）BD的長為：．

【解析】

（1）①當α=0°時，在Rt△ABC中，由勾股定理，求出AC的值是多少；然后根據點D、E分別是邊BC、AC的中點，分別求出AE、BD的大小，即可求出的值是多少．

②α=180°時，可得AB∥DE，然后根據，求出的值是多少即可．

（2）首先判斷出∠ECA=∠DCB，再根據，判斷出△ECA∽△DCB，然后由相似三角形的對應邊成比例，求得答案．

（3）分兩種情況分析，A、D、E三點所在直線與BC不相交和與BC相交，然后利用勾股定理分別求解即可求得答案．

解：（1）①當α=0°時，

∵Rt△ABC中，∠B=90°，

∴AC=，

∵點D、E分別是邊BC、AC的中點，

∴AE=AC=5，BD=BC=4，

∴．

②如圖1，當α=180°時，

可得AB∥DE，

∵，

∴．

故答案為：①；②.

（2）如圖2，

當0°≤α＜360°時，的大小沒有變化，

∵∠ECD=∠ACB，

∴∠ECA=∠DCB，

又∵，

∴△ECA∽△DCB，

∴．

（3）①如圖3，連接BD，

∵AC=10，CD=4，CD⊥AD，

∴AD=，

∵點D、E分別是邊BC、AC的中點，

∴DE=AB=3，

∴AE=AD+DE=，

由（2），可得：，

∴BD=；

②如圖4，連接BD，

∵AC=10，CD=4，CD⊥AD，

∴AD=，

∵點D、E分別是邊BC、AC的中點，

∴DE=AB=3，

∴AE=AD-DE=，

由（2），可得：，

∴BD=AE=．

綜上所述，BD的長為：．