Question

【題目】如圖，直線y=k1x（x≥0）與雙曲線y= （x＞0）相交于點P（2，4）．已知點A（4，0），B（0，3），連接AB，將Rt△AOB沿OP方向平移，使點O移動到點P，得到△A'PB'．過點A'作A'C∥y軸交雙曲線于點C．

（1）求k1與k2的值；
（2）求直線PC的表達式；
（3）直接寫出線段AB掃過的面積．

Answer 1

【答案】
（1）

解：把點P（2，4）代入直線y=k1x，可得4=2k1，

∴k1=2，

把點P（2，4）代入雙曲線y= ，可得k2=2×4=8

（2）

解：∵A（4，0），B（0，3），

∴AO=4，BO=3，

如圖，延長A'C交x軸于D，

由平移可得，A'P=AO=4，

又∵A'C∥y軸，P（2，4），

∴點C的橫坐標為2+4=6，

當x=6時，y= = ，即C（6， ），

設直線PC的解析式為y=kx+b，

把P（2，4），C（6， ）代入可得

，解得 ，

∴直線PC的表達式為y=﹣ x+

（3）

解：如圖，延長A'C交x軸于D，

由平移可得，A'P∥AO，

又∵A'C∥y軸，P（2，4），

∴點A'的縱坐標為4，即A'D=4，

如圖，過B'作B'E⊥y軸于E，

∵PB'∥y軸，P（2，4），

∴點B'的橫坐標為2，即B'E=2，

又∵△AOB≌△A'PB'，

∴線段AB掃過的面積=平行四邊形POBB'的面積+平行四邊形AOPA'的面積=BO×B'E+AO×A'D=3×2+4×4=22．

【解析】（1）把點P（2，4）代入直線y=k1x，把點P（2，4）代入雙曲線y= ，可得k1與k2的值；（2）根據平移的性質，求得C（6， ），再運用待定系數法，即可得到直線PC的表達式；（3）延長A'C交x軸于D，過B'作B'E⊥y軸于E，根據△AOB≌△A'PB'，可得線段AB掃過的面積=平行四邊形POBB'的面積+平行四邊形AOPA'的面積，據此可得線段AB掃過的面積．
【考點精析】認真審題，首先需要了解確定一次函數的表達式(確定一個一次函數，需要確定一次函數定義式y=kx+b（k不等于0）中的常數k和b．解這類問題的一般方法是待定系數法)，還要掌握坐標與圖形變化-平移(新圖形的每一點，都是由原圖形中的某一點移動后得到的，這兩個點是對應點；連接各組對應點的線段平行且相等)的相關知識才是答題的關鍵．