Question

【題目】探究：

(1)如圖①，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90，作CM平分∠ACB交AB于點M，點D為射線CM上一點，以點C為旋轉中心將線段CD逆時針旋轉90°得到線段CE，連接DE交射線CB于點F，連接BD、BE

填空：

①線段BD、BE的數量關系為______．

②線段BC、DE的位置關系為______．

推廣：

(2)如圖②，在等腰三角形ABC中，頂角∠ACB=a，作CM平分∠ACB交AB于點M，點D為△ABC外部射線CM上一點，以點C為旋轉中心將線段CD逆時針旋轉α度得到線段CE，連接DE、BD、BE請判斷(1)中的結論是否成立，并說明理由．

應用：

(3)如圖③，在等邊三角形ABC中，AB=4．作BM平分∠ABC交AC于點M，點D為射線BM上一點，以點B為旋轉中心將線段BD逆時針旋轉60°得到線段BE，連接DE交射線BA于點F，連接AD、AE．當以A、D、M為頂點的三角形與△AEF全等時，請直接寫出DE的值．

Answer 1

【答案】(1)①BD=CE；②BD⊥CE；(2)結論：(1)中的結論仍然成立，理由見解析；(3)滿足條件的DE的值為或4．

【解析】

①由CA=CB，∠ACB=90°，CM平分∠ACB，得出∠ECF=∠DCF=45°，易證△CBD≌△CBE，即可得出BD=BE；

②由CD=CE即可得出BC⊥DE.

（2）由CA=CB，∠ACB=α，CM平分∠ACB，得出∠ECF=∠DCF=α，易證△CBD≌△CBF，即可得出BD=BE，再由等腰三角形的性質得出BC⊥DE.

（3）分兩種情況，根據三角形全等的性質及三角函數即可得出.

(1)如圖①中，

∵CA=CB，∠ACB=90°，CM平分∠ACB，

∴∠ACM=∠BCM=45°，

∵∠ECD=90°，

∴∠ECF=∠DCF=45°，

∵CD=CE，CB=CB，

∴△CBD≌△CBE(SAS)，

∴BD=BE，

∵CD=CE，

∴BC垂直平分線段DE，

∴BC⊥DE．

故答案為BD=CE，BD⊥CE．

(2)結論：(1)中的結論仍然成立．

理由：如圖②中，

∵CA=CB，∠ACB=α，CM平分∠ACB，

∴∠ACM=∠BCM=α，

∵∠ECD=α，

∴∠ECF=∠DCF=α，

∵CD=CE，CB=CB，

∴△CBD≌△CBF(SAS)，

∴BD=BE，

∵CD=CE，

∴BC垂直平分線段DE，

∴BC⊥DE．

(3)如圖③中，

當△AFE≌△AMD時，AF=AM，

∵∠AFD=∠AMD=90°，

∵AD=AD，

∴Rt△ADF≌Rt△ADM(HL)，

∴∠DAF=∠DAM=30°，

∴∠DBA=∠DAB=30°，

∴DA=DB，

∵DF⊥AB，

∴∠BDF=60°，BF=AF=2，

∵BD=BE，

∴△BDE是等邊三角形，

∴DF=EF=BFtan30°=，

∴DE=2EF=．

如圖③-1中，當點D在AM的延長線時，易證AF=AM=2，DE=2DF=4．

綜上所述，滿足條件的DE的值為或4.