Question

【題目】如圖，四邊形ABCD是正方形，AC與BD，相交于點O，點E、F是邊AD上兩動點，且AE＝DF，BE與對角線AC交于點G，聯結DG，DG交CF于點H．

(1)求證：∠ADG＝∠DCF；

(2)聯結HO，試證明HO平分∠CHG．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析.

【解析】

（1）根據題意可得△DFC≌△AFB，△AGB≌△ADG，可得∠ADG=∠DCF
（2）由題意可證CF⊥DG，由∠CHD=∠COD=90°，則D，F，O，C四點共圓，可得∠CDO=∠CHO=45°，可證OH平分∠CHG.

(1)∵四邊形ABCD是正方形

∴AB＝AD＝CD＝BC，∠CDA＝∠DAB＝90°，∠DAC＝∠CAB＝45°，AC⊥BD

∵DC＝AB，DF＝AE，∠CDA＝∠DAB＝90°

∴△DFC≌△AEB

∴∠ABE＝∠DCF

∵AG＝AG，AB＝AD，∠DAC＝∠CAB＝45°

∴△ADG≌△ABG

∴∠ADG＝∠ABE

∴∠DCF＝∠ADG

(2)∵∠DCF＝∠ADG，且∠ADG+∠CDG＝90°

∴∠DCF+∠CDG＝90°

∴∠CHD＝∠CHG＝90°

∵∠CHD＝∠COD

∴C，D，H，O四點共圓

∴∠CHO＝∠CDO＝45°

∴∠GHO＝∠CHO＝45°

∴HO平分∠CHG