Question

【題目】正方形ABCD中，對角線AC、BD交于O，Q為CD上任意一點，AQ交BD于M，過M作MN⊥AM交BC于N，連AN、QN．下列結論：①MA=MN；②∠AQD=∠AQN； ③S△AQN=S五邊形ABNQD；④QN是以A為圓心，以AB為半徑的圓的切線．其中正確的結論有（　　）

A. ①②③④ B. 只有①③④ C. 只有②③④ D. 只有①②

Answer 1

【答案】A

【解析】

延長CD到F，使DF=BN，連接AF，過A作AH⊥NQ于H，證A B N M四點共圓，推出∠ANM=∠NAM即可判斷①；證△ABN≌△ADF，推出AF=AN，∠FAD=∠BAN，證△NAQ≌△FAQ，推出∠AQN=∠AQD即可判斷②；證△ADQ≌△AHQ，即可推出③；根據AH=AD=AB，AH⊥NQ，即可判斷④．

延長CD到F，使DF=BN，連接AF，過A作AH⊥NQ于H，

∵正方形ABCD，NM⊥AQ，

∴∠AMN=∠ABC=90°，

∴A B N M四點共圓，

∴∠NAM=∠DBC=45°，∠ANM=∠ABD=45°，

∴∠ANM=∠NAM=45°，

∴MA=MN，∴①正確；

∵正方形ABCD，

∴∠ABN=∠ADF=90°，AD=AB，

在△ABN和△ADF中，

∵，

∴△ABN≌△ADF，

∴∠FAD=∠BAN，AF=AN，

∵∠NAM=∠BAC=45°，

∴∠FAQ=∠FAD+∠DAQ=45°=∠NAQ，

在△NAQ和△FAQ中，

∵，

∴△NAQ≌△FAQ，

∴∠AQN=∠AQD，∴②正確；

在△ADQ和△AHQ中，

∵，

∴△ADQ≌△AHQ，

∴S△ADQ=S△AQH，

∴S△NAQ=S△FAQ=S△FAD+S△ADQ=S五邊形ABNQD，

∴③正確；

∵AH=AD=AB，AH⊥NQ，

∴QN是以A為圓心，以AB為半徑的圓的切線，

∴④正確．

故選：A．