Question

【題目】已知二次函數y=﹣x2+2x+m．

（1）如果二次函數的圖象與x軸有兩個交點，求m的取值范圍；
（2）如圖，二次函數的圖象過點A（3，0），與y軸交于點B，直線AB與這個二次函數圖象的對稱軸交于點P，求點P的坐標．
（3）根據圖象直接寫出使一次函數值大于二次函數值的x的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵二次函數的圖象與x軸有兩個交點，

∴△=22+4m＞0

∴m＞﹣1；

（2）解：∵二次函數的圖象過點A（3，0），

∴0=﹣9+6+m

∴m=3，

∴二次函數的解析式為：y=﹣x2+2x+3，

令x=0，則y=3，

∴B（0，3），

設直線AB的解析式為：y=kx+b，

∴ ，解得： ，

∴直線AB的解析式為：y=﹣x+3，

∵拋物線y=﹣x2+2x+3，的對稱軸為：x=1，

∴把x=1代入y=﹣x+3得y=2，

∴P（1，2）．

（3）解：根據函數圖象可知：x＜0或x＞3．
【解析】（1）根據已知二次函數的圖象與x軸有兩個交點，可得b2-4ac＞0，建立不等式，求解即可。
（2）利用待定系數法，根據點A的坐標即可求出此拋物線的函數解析式，再由y=0,求出拋物線與y軸的交點坐標，再利用待定系數法求出直線AB的解析式，然后將拋物線和一次函數聯立解方程組即可求得點P的坐標。
（3）觀察函數圖像，使一次函數值大于二次函數值，就是看一次函數圖像高于二次函數的圖像，即可得出x的取值范圍。
【考點精析】關于本題考查的確定一次函數的表達式和拋物線與坐標軸的交點，需要了解確定一個一次函數，需要確定一次函數定義式y=kx+b（k不等于0）中的常數k和b．解這類問題的一般方法是待定系數法；一元二次方程的解是其對應的二次函數的圖像與x軸的交點坐標．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函數中表示圖像與x軸是否有交點．當b2-4ac>0時，圖像與x軸有兩個交點；當b2-4ac=0時，圖像與x軸有一個交點；當b2-4ac<0時，圖像與x軸沒有交點．才能得出正確答案．