Question

【題目】（1）已知：如圖1，P為△ADC內一點，DP、CP分別平分∠ADC和∠ACD，如果∠A=90°，那么∠P=______°；如果∠A=x°，則∠P=____________°；（答案直接填在題中橫線上）

（2）如圖2，P為四邊形ABCD內一點，DP、CP分別平分∠ADC和∠BCD，試探究∠P與∠A+∠B的數量關系，并寫出你的探索過程；

（3）如圖3，P為五邊形ABCDE內一點，DP、CP分別平分∠EDC和∠BCD，請直接寫出∠P與∠A+∠B+∠E的數量關系：________________；

（4）若P為n邊形A1A2A3…An內一點，PA1平分∠AnA1A2，PA2平分∠A1A2A3，請直接寫出∠P與∠A3+A4+A5+…∠An的數量關系：__________________________．（用含n的代數式表示）

Answer 1

【答案】如果∠A=90°，那么∠P=135°；如果∠A=x°，則∠P=（90+）° ∠P=（∠A+∠B） ∠P=（∠A+∠B+∠E）﹣90° ∠P=（∠A3+∠A4+∠A5+…∠An）﹣（n﹣4）×90°

【解析】

（1）根據角平分線的定義和三角形內角和定理，列式整理解答；

（2）根據角平分線的定義和四邊形的內角和，列式整理解答；

（3）根據角平分線的定義和五邊形的內角和，列式整理解答；

（4）根據角平分線的定義和n邊形的內角和公式，列式整理解答；

（1）∵DP、CP分別平分∠ADC和∠ACD，

∴∠PDC=∠ADC，∠PCD=∠ACD，

∴∠DPC=180°﹣∠PDC﹣∠PCD

=180°﹣∠ADC﹣∠ACD

=180°﹣（∠ADC+∠ACD）

=180°﹣（180°﹣∠A）

=90°+ ∠A，

∴如果∠A=90°，那么∠P=135°；如果∠A=x°，則∠P=（90+）°；

（2）∵DP、CP分別平分∠ADC和∠BCD，

∴∠PDC=∠ADC，∠PCD=∠BCD，

∴∠DPC=180°﹣∠PDC﹣∠PCD

=180°﹣∠ADC﹣∠BCD

=180°﹣（∠ADC+∠BCD）

=180°﹣（360°﹣∠A﹣∠B）

=（∠A+∠B）；

（3）五邊形ABCDEF的內角和為：（5﹣2）180°=540°，

∵DP、CP分別平分∠EDC和∠BCD，

∴∠PDC=∠EDC，∠PCD=∠BCD，

∴∠P=180°﹣∠PDC﹣∠PCD

=180°﹣∠EDC﹣∠BCD

=180°﹣（∠EDC+∠BCD）

=180°﹣（540°﹣∠A﹣∠B﹣∠E）

=（∠A+∠B+∠E）﹣90°，

即∠P=（∠A+∠B+∠E）﹣90°；

（4）同（1）可得，∠P=（∠A3+∠A4+∠A5+…∠An）﹣（n﹣4）×90°．

故答案為：（1）如果∠A=90°，那么∠P=135°；如果∠A=x°，則∠P=（90+）°（2）∠P=180°﹣∠PDC﹣∠PCD=（∠A+∠B）（3）∠P=（∠A+∠B+∠E）﹣90°（4）∠P=（∠A3+∠A4+∠A5+…∠An）﹣（n﹣4）×90°