Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC，以AC為直徑作⊙O交BC于點D，過點D作EF⊥AB于點F，交AC的延長線于點E．
（1）判斷EF與⊙O的位置關系，并說明理由；
（2）若AF=6，sinE= ，求BF的長．

Answer 1

【答案】
（1）解：EF與⊙O相切，理由是：

連接OD、AD，

∵AC是⊙O的直徑，

∴∠ADC=90°，

∵AB=AC，

∴BD=DC，

∵OA=OC，

∴OD為△ABC的中位線，

∴OD∥AB，

∵EF⊥AB，

∴OD⊥EF，

∴EF與⊙O相切

（2）解：∵OD∥AB，

∴△EOD∽△EAF，

∴ ，

Rt△AEF中，sinE= = ，

∵AF=6，

∴ ，

∴AE=10，

設OD=x，則OA=OD=x，

∴ ，

x= ，

∴OA= ，

∴AC=2OA= ，

∴AB=AC= ，

∴BF=AB﹣AF= ﹣6=

【解析】（1）EF與⊙O相切，先根據等腰三角形三線合一得：BD是高線也是中線，由此得OD是△ABC的中位線，所以OD∥AB，所以OD⊥EF，則EF與⊙O相切；（2）設圓的半徑為x，根據△EOD∽△EAF，列比例式求x的值，則直徑AC= ，則AB= ，由此可得結論．
【考點精析】利用等腰三角形的性質和直線與圓的三種位置關系對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）；直線與圓有三種位置關系：無公共點為相離；有兩個公共點為相交,這條直線叫做圓的割線；圓與直線有唯一公共點為相切，這條直線叫做圓的切線，這個唯一的公共點叫做切點．