Question

【題目】如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c（a＞0，c＜0）交x軸于點A，B，交y軸于點C，設過點A，B，C三點的圓與y軸的另一個交點為D．
（1）如圖1，已知點A，B，C的坐標分別為（﹣2，0），（8，0），（0，﹣4）；
①求此拋物線的表達式與點D的坐標；
②若點M為拋物線上的一動點，且位于第四象限，求△BDM面積的最大值；

（2）如圖2，若a=1，求證：無論b，c取何值，點D均為定點，求出該定點坐標．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵拋物線y=ax2+bx+c過點A（﹣2，0），B（8，0），C（0，﹣4），

∴ ，解得 ，

∴拋物線的解析式為：y= x2﹣ x﹣4；

∵OA=2，OB=8，OC=4，∴AB=10．

如答圖1，連接AC、BC．

由勾股定理得：AC= ，BC= ．

∵AC2+BC2=AB2=100，

∴∠ACB=90°，

∴AB為圓的直徑．

由垂徑定理可知，點C、D關于直徑AB對稱，

∴D（0，4）．

解法一：

設直線BD的解析式為y=kx+b，∵B（8，0），D（0，4），

∴ ，解得 ，

∴直線BD解析式為：y=﹣ x+4．

設M（x， x2﹣ x﹣4），

如答圖2﹣1，過點M作ME∥y軸，交BD于點E，則E（x，﹣ x+4）．

∴ME=（﹣ x+4）﹣（ x2﹣ x﹣4）=﹣ x2+x+8．

∴S△BDM=S△MED+S△MEB= ME（xE﹣xD）+ ME（xB﹣xE）= ME（xB﹣xD）=4ME，

∴S△BDM=4（﹣ x2+x+8）=﹣x2+4x+32=﹣（x﹣2）2+36．

∴當x=2時，△BDM的面積有最大值為36；

解法二：

如答圖2﹣2，過M作MN⊥y軸于點N．

設M（m， m2﹣ m﹣4），

∵S△OBD= OBOD= =16，

S梯形OBMN= （MN+OB）ON

= （m+8）[﹣（ m2﹣ m﹣4）]

=﹣ m（ m2﹣ m﹣4）﹣4（ m2﹣ m﹣4），

S△MND= MNDN

= m[4﹣（ m2﹣ m﹣4）]

=2m﹣ m（ m2﹣ m﹣4），

∴S△BDM=S△OBD+S梯形OBMN﹣S△MND

=16﹣ m（ m2﹣ m﹣4）﹣4（ m2﹣ m﹣4）﹣2m+ m（ m2﹣ m﹣4）

=16﹣4（ m2﹣ m﹣4）﹣2m

=﹣m2+4m+32

=﹣（m﹣2）2+36；

∴當m=2時，△BDM的面積有最大值為36．

（2）

解：如答圖3，連接AD、BC．

由圓周角定理得：∠ADO=∠CBO，∠DAO=∠BCO，

∴△AOD∽△COB，

∴ = ，

設A（x1，0），B（x2，0），

∵已知拋物線y=x2+bx+c（c＜0），

∵OC=﹣c，x1x2=c，

∴ = ，

∴OD= =1，

∴無論b，c取何值，點D均為定點，該定點坐標D（0，1）．

【解析】（1）①利用待定系數法求拋物線的解析式；利用勾股定理的逆定理證明∠ACB=90°，由圓周角定理得AB為圓的直徑，再由垂徑定理知點C、D關于AB對稱，由此得出點D的坐標；②求出△BDM面積的表達式，再利用二次函數的性質求出最值．解答中提供了兩種解法，請分析研究；（2）根據拋物線與x軸的交點坐標、根與系數的關系、相似三角形求解．
【考點精析】本題主要考查了二次函數的圖象和二次函數的性質的相關知識點，需要掌握二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點；增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小才能正確解答此題．