Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，翻折∠C，使點C落在斜邊AB上某一點D處，折痕為EF（點E、F分別在邊AC、BC上）．
（1）若以C、E、F為頂點的三角形與以A、B、C為頂點的三角形相似． ①當AC=BC=2時，AD的長為；
②當AC=3，BC=4時，AD的長為；
（2）當點D是AB的中點時，△CEF與△CBA相似嗎？請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）；1.8或2.5
（2）解：當點D是AB的中點時，△CEF與△CBA相似．理由如下：

如答圖3所示，連接CD，與EF交于點Q．

∵CD是Rt△ABC的中線，

∴CD=DB= AB，

∴∠DCB=∠B．

由折疊性質可知，∠CQF=∠DQF=90°，

∴∠DCB+∠CFE=90°，

∵∠B+∠A=90°，

∴∠CFE=∠A，

又∵∠ACB=∠ACB，

∴△CEF∽△CBA．

【解析】解：（1）若△CEF與△ABC相似． ①當AC=BC=2時，△ABC為等腰直角三角形，如答圖1所示．
此時D為AB邊中點，AD= AC= ；
②當AC=3，BC=4時，有兩種情況：
a．若CE：CF=3：4，如答圖2所示．
∵CE：CF=AC：BC，∴EF∥AB．
由折疊性質可知，CD⊥EF，∴CD⊥AB，即此時CD為AB邊上的高．
在Rt△ABC中，AC=3，BC=4，
∴AB=5，
∴cosA= ．
AD=ACcosA=3× =1.8；
b．若CF：CE=3：4，如答圖3所示．
∵△CEF∽△CBA，∴∠CEF=∠B．
由折疊性質可知，∠CEF+∠ECD=90°，
又∵∠A+∠B=90°，
∴∠A=∠ECD，∴AD=CD．
同理可得：∠B=∠FCD，CD=BD，
∴此時AD= AB= ×5=2.5．
綜上所述，當AC=3，BC=4時，AD的長為1.8或2.5．


【考點精析】關于本題考查的翻折變換（折疊問題）和相似三角形的判定與性質，需要了解折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，對稱軸是對應點的連線的垂直平分線，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和角相等；相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方才能得出正確答案．