Question

【題目】如圖，在等邊△ABC中，D是BC邊的中點，以AD為邊作等邊△ADE．

(1)求∠CAE的度數；

(2)取AB邊的中點F，連接CF、CE，試說明四邊形AFCE是矩形．

Answer 1

【答案】（1）∠CAE=30°；（2）證明見解析.

【解析】分析：（1）根據等邊三角形三線合一的特點，易求得∠DAC=30°，則∠CAE=∠DAE-∠DAC．
（2）先證明四邊形AECF是平行四邊形，然后根據∠CFA=∠FAE=90°，由矩形的定義判定四邊形AFCE是矩形．

詳解：

（1） ∵△ABC是等邊三角形，且D是BC中點，

∴DA平分∠BAC，即∠DAB=∠DAC=30°；

∵△DAE是等邊三角形，

∴∠DAE=60°；

∴∠CAE=∠DAE-∠CAD=30°；

（2）證明：∵△BAC是等邊三角形，F是AB中點，

∴CF⊥AB；

∴∠BFC=90°,

由（1）知：∠CAE=30°，∠BAC=60°；

∴∠FAE=90°；

∴AE∥CF；

∵△BAC是等邊三角形，且AD、CF分別是BC、AB邊的中線，

∴AD=CF；

又AD=AE，∴CF=AE；

∴四邊形AFCE是平行四邊形；

∵∠AFC=∠FAE=90°，

∴四邊形AFCE是矩形．