Question

【題目】在平面直角坐標系中，O為坐標原點，B在x軸上，四邊形OACB為平行四邊形，且∠AOB=60°，反比例函數（k＞0）在第一象限內過點A，且與BC交于點F.（1）若OA=10，求反比例函數的解析式；

（2）若F為BC的中點，且S△AOF＝24，求OA長及點C坐標；

（3）在（2）的條件下，過點F作EF∥OB交OA于點E（如圖2），若點P是直線EF上一個動點，連結，PA，PO，問是否存在點P，使得以P，A，O三點構成的三角形是直角三角形？若存在，請指出這樣的P點有幾個，并直接寫出其中二個P點坐標；若不存在，請說明了理由．

Answer 1

【答案】（1）反比例函數解析式：y=（x＞0）；（2）C（）；（3）P1（），P2（），P3（），P4（）

【解析】分析：（1）先過點A作AH⊥OB，根據∠AOB=60°，OA=10，求出AH和OH的值，從而得出A點坐標，再把它代入反比例函數中，求出k的值，即可求出反比例函數的解析式；
（2）先設OA=a（a＞0），過點F作FM⊥x軸于M，根據∠AOB=60°，得出AHAH=a，OH=a，求出S△AOH的值，根據S△AOF=24，求出平行四邊形AOBC的面積，根據F為BC的中點，求出S△OBF=12，最后根據S平行四邊形AOBC=OBAH，得出OB=AC=12，即可求出點C的坐標；
（3）分別根據當∠APO=90°時，在OA的兩側各有一點P，得出P1，P2；當∠PAO=90°時，求出P3；當∠POA=90°時，求出P4即可．

詳解：

（1）過點A作AH⊥OB于H，

∵∠AOB=60°，OA=10，

∴AH=，OH=5，∴A點坐標為（5，），根據題意得：

，可得：k=，

∴反比例函數解析式：y=（x＞0）；

（2）設OA=a（a＞0），過點F作FM⊥x軸于M，

∵∠AOB=60°，

∴AH=a，OH=，

∴S△AOH=，

∵S△AOF=，

∴S平行四邊形AOBC=，

∵F為BC的中點，

∴S△OBF=，

∵BF=a，∠FBM=∠AOB，

∴FM=，BM=a，

∴S△BMF=BM*FM=，

∴S△FOM=S△OBF+S△BMF= ，

∵點A，F都在y=的圖象上，

∴S△AOH=k，

∴，

∴a=，

∴OA=8，

∴AH=，OH=，

∵S平行四邊形AOBC=OB*AH=，

∴OB=，

∴C（）；

（3）存在三種情況：這樣的P點有四個

當∠APO=90°時，在OA的兩側各有一點P，分別為：P1（），P2（），

當∠PAO=90°時，P3（），

當∠POA=90°時，P4（）