Question

【題目】如圖，在ABC 中， AD 是 BC 邊上的中線，點(diǎn) E 是 AD 的中點(diǎn)，過點(diǎn) A 作AF // BC 交 BE 的延長(zhǎng)線于 F ，連接CF .

（1）求證： AEF DEB ；

（2）若BAC 90，試判斷四邊形 ADCF 的形狀，并證明你的結(jié)論；

（3）在（2）的情況下，如果 AC 2 ，點(diǎn) M 在 AC 線段上移動(dòng)，當(dāng) MB MD 有最小值時(shí)，求 AM 的長(zhǎng)度（提示：以 D 點(diǎn)為原點(diǎn)， AD 為 y 正半軸， DC 為 x 正軸建立平面直角坐標(biāo)系）.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）四邊形ADCF是菱形；（3）．

【解析】

（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠AFE=∠DBE，利用AAS定理證明△AEF≌△DEB；

（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AF=DC，得到四邊形ADCF是平行四邊形，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到AD=DC，即可證明四邊形ADCF是菱形；

（3）根據(jù)菱形的性質(zhì)得到點(diǎn)D與點(diǎn)F關(guān)于直線AC對(duì)稱，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)作圖即可得出點(diǎn)M，然后根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)即可得出AM與AC的關(guān)系，即可得出結(jié)論．

（1）∵AF∥BC，∴∠AFE=∠DBE．在△AEF和△DEB中，∵，∴△AEF≌△DEB；

（2）四邊形ADCF是菱形，理由如下：

∵△AEF≌△DEB，∴AF=BD．

∵BD=DC，∴AF=DC．

又∵AF∥BC，∴四邊形ADCF是平行四邊形．

∵∠BAC=90°，AD是BC邊上的中線，∴AD=DC，∴四邊形ADCF是菱形；

（3）連接BF交AC于M，則點(diǎn)M即為所求．

∵四邊形ADCF是菱形，∴點(diǎn)D與點(diǎn)F關(guān)于直線AC對(duì)稱，∴MD=MF，∴MB+MD=MB+MF=BF，即MB+MD有最小值．

∵AF=DC=BD，∴BC=2AF．

∵AF∥BC，∴△AMF∽△CMB，∴，∴，∴AM=AC．

∵AC=2，∴AM=．